Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
$$T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y},-\mathrm{x}+4 \mathrm{y})

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (x + 2y,\,-x + 4y).
Conteúdo: autovalores e autovetores. Vamos precisar representar T na base canônica por uma matriz A, calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), achar as raízes \lambda e, para cada uma, resolver (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[6pt] -1 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\[3pt] -1 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - (-1)\cdot 2 = \lambda^2 -5\lambda +6.
Resolvendo \lambda^2 -5\lambda +6 = 0 obtemos
\lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = 3.]

Passo 4

Para \lambda = 2 resolvemos
(A - 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[3pt] -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -\,x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2y.
Logo os autovetores associados a \lambda=2 são todos os múltiplos de \bigl(2,1\bigr).]

Passo 5

Para \lambda = 3 resolvemos
(A - 3I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -2 & 2 \\[3pt] -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -\,2x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = x.
Logo os autovetores associados a \lambda=3 são todos os múltiplos de \bigl(1,1\bigr).]

Resposta

Os autovalores de T são \lambda_1 = 2 e \lambda_2 = 3.
O autovetor associado a \lambda_1 = 2 é qualquer múltiplo de (2,1).
O autovetor associado a \lambda_2 = 3 é qualquer múltiplo de (1,1).

Exercícios relacionados