Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
$$T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y},-\mathrm{x}+4 \mathrm{y})
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
dada por
Conteúdo: autovalores e autovetores. Vamos precisar representar
na base canônica por uma matriz
, calcular o polinômio característico
, achar as raízes
e, para cada uma, resolver
.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico é
Resolvendo
obtemos
Passo 4
Para
resolvemos
Logo os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
.]
Passo 5
Para
resolvemos
Logo os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
.]
Resposta
Os autovalores de
são
e
.
O autovetor associado a é qualquer múltiplo de
.
O autovetor associado a é qualquer múltiplo de
.
O autovetor associado a
O autovetor associado a