Determinar os valores de
para os quais a EDO dada tem soluções da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de $ r $ que fazem com que a solução da equação diferencial ordinária (EDO)
seja da forma $ y = e^{r t} $. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que a solução tem essa forma exponencial e encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y = e^{r t} $ realmente resolve a EDO. Para isso, precisamos calcular as derivadas de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, substituímos $ y $, $ \frac{d y}{d t} $ e $ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} $ na EDO original:
Passo 4
Vamos fatorar $ e^{r t} $ (que nunca é zero) da expressão:
Como $ e^{r t} \neq 0 $, a equação se reduz a:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática em $ r $. Para encontrar os valores de $ r $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = 5 $. Substituindo:
Passo 6
A raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos. Então, podemos escrever:
Onde $ i $ é a unidade imaginária. Portanto, os valores de $ r $ são:
Resposta
Os valores de $ r $ são $ r = \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} $ e $ r = \frac{1 - i \sqrt{19}}{2} $.