Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma y=e^r t.
d^2 yd t^2-d yd t+5 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de $ r $ que fazem com que a solução da equação diferencial ordinária (EDO) r seja da forma $ y = e^{r t} $. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que a solução tem essa forma exponencial e encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y = e^{r t} $ realmente resolve a EDO. Para isso, precisamos calcular as derivadas de $ y $ em relação a $ t $:
y = e^r t
y

Passo 3

Agora, substituímos $ y $, $ \frac{d y}{d t} $ e $ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} $ na EDO original:
y

Passo 4

Vamos fatorar $ e^{r t} $ (que nunca é zero) da expressão:
e^r t
Como $ e^{r t} \neq 0 $, a equação se reduz a:
e^r t (r^2 - r + 5) = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em $ r $. Para encontrar os valores de $ r $, usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = 5 $. Substituindo:
r
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
a = 1

Passo 6

A raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos. Então, podemos escrever:
raiz-19 = i raiz19
Onde $ i $ é a unidade imaginária. Portanto, os valores de $ r $ são:
i

Resposta

Os valores de $ r $ são $ r = \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} $ e $ r = \frac{1 - i \sqrt{19}}{2} $.

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