Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
t^2 y^prime prime+5 t y+4 y=0, y=t^-2+t^-2 ln (t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial: $ t^{2} y’’ + 5 t y’ + 4 y = 0 $. E a função que a gente quer testar é $ y = t^{-2} + t^{-2} \ln(t) $. Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y $ e substituir na equação para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução de uma equação diferencial. Basicamente, se a função $ y $ satisfaz a equação diferencial quando substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação, então $ y $ é uma solução.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y $. A função $ y $ é composta por duas partes: $ t^{-2} $ e $ t^{-2} \ln(t) $. Vamos derivar cada uma separadamente.
Para $ t^{-2} $, usamos a regra do poder:
y
Para $ t^{-2} \ln(t) $, usamos a regra do produto:
y
Então, a primeira derivada $ y’ $ é:
t^-2

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ y’’ $. Novamente, derivamos cada termo de $ y’ $:
Para $ -t^{-3} $:
y''
Para $ -2 t^{-3} \ln(t) $, usamos a regra do produto:
y'
Então, a segunda derivada $ y’’ $ é:
-t^-3

Passo 5

Agora que temos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $, vamos substituir na equação diferencial $ t^{2} y’’ + 5 t y’ + 4 y $ e verificar se o resultado é zero.
Substituindo:
y
y'
y''
Agora, somamos tudo:
t^2 y'' + 5 t y' + 4 y
Vamos simplificar:
Para os termos sem $ \ln(t) $:
t^2 y'' = t^2 (t^-4 + 6 t^-4 ln(t)) = t^-2 + 6 t^-2 ln(t)
Para os termos com $ \ln(t) $:
5 t y' = 5 t (-t^-3 - 2 t^-3 ln(t)) = -5 t^-2 - 10 t^-2 ln(t)
Então, no total:
4 y = 4 (t^-2 + t^-2 ln(t)) = 4 t^-2 + 4 t^-2 ln(t)

Resposta

Como a substituição resulta em zero, concluímos que a função $ y = t^{-2} + t^{-2} \ln(t) $ é de fato uma solução da equação diferencial $ t^{2} y’’ + 5 t y’ + 4 y = 0 $.

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