Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma equação diferencial: $ t^{2} y’’ + 5 t y’ + 4 y = 0 $. E a função que a gente quer testar é $ y = t^{-2} + t^{-2} \ln(t) $. Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y $ e substituir na equação para ver se ela se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução de uma equação diferencial. Basicamente, se a função $ y $ satisfaz a equação diferencial quando substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação, então $ y $ é uma solução.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y $. A função $ y $ é composta por duas partes: $ t^{-2} $ e $ t^{-2} \ln(t) $. Vamos derivar cada uma separadamente.
Para $ t^{-2} $, usamos a regra do poder:
Para $ t^{-2} \ln(t) $, usamos a regra do produto:
Então, a primeira derivada $ y’ $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ y’’ $. Novamente, derivamos cada termo de $ y’ $:
Para $ -t^{-3} $:
Para $ -2 t^{-3} \ln(t) $, usamos a regra do produto:
Então, a segunda derivada $ y’’ $ é:
Passo 5
Agora que temos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $, vamos substituir na equação diferencial $ t^{2} y’’ + 5 t y’ + 4 y $ e verificar se o resultado é zero.
Substituindo:
Agora, somamos tudo:
Vamos simplificar:
Para os termos sem $ \ln(t) $:
Para os termos com $ \ln(t) $:
Então, no total:
Resposta
Como a substituição resulta em zero, concluímos que a função $ y = t^{-2} + t^{-2} \ln(t) $ é de fato uma solução da equação diferencial $ t^{2} y’’ + 5 t y’ + 4 y = 0 $.