Utilize o método da substituição para calcular as integrais definidas abaixo.
integral0^1 e^x1+e^2 x d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida
integral0^1 e^x1+e^2x,dx
O tema aqui é o método de substituição: vamos identificar uma parte da integral que, ao ser substituída, simplifica a fração, e depois ajustar os limites de integração.

Passo 2

Para usar substituição, note que a derivada de e^x é exatamente e^x. Então definimos
u = e^x,
logo
du = e^x,dx
Quando x=0, temos u=e^0=1. Quando x=1, u=e^1=e.

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador e^x,dx vira du e o denominador 1+e^2x vira 1+u^2. Assim
integral0^1 e^x1+e^2x,dx = integralu=1^u=e 11+u^2,du
Agora é a integral padrão da função arco-tangente.

Passo 4

A integral de 1/(1+u^2) em relação a u é arctan(u). Então avaliamos de 1 até e:
integral1^e 11+u^2,du = l[arctan(u)r]1^e = arctan(e) - arctan(1)
Como arctan(1)=pi/4, o resultado fica bem simples.

Passo 5

A resposta final da integral é a diferença de arctangentes obtida acima.

Resposta

arctan(e) - pi4

Exercícios relacionados