Utilize o método da substituição para calcular as integrais definidas abaixo.
Passo 1
A gente quer calcular a integral definida
O tema aqui é o método de substituição: vamos identificar uma parte da integral que, ao ser substituída, simplifica a fração, e depois ajustar os limites de integração.
Passo 2
Para usar substituição, note que a derivada de
é exatamente
. Então definimos
logo
Quando
, temos
. Quando
,
.
Passo 3
Substituindo na integral original, o numerador
vira
e o denominador
vira
. Assim
Agora é a integral padrão da função arco-tangente.
Passo 4
A integral de
em relação a
é
. Então avaliamos de
até
:
Como
, o resultado fica bem simples.
Passo 5
A resposta final da integral é a diferença de arctangentes obtida acima.