Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma y=e^r t.
d yd t-8 y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente encontrar os valores de $ r $ que fazem a equação diferencial ordinária (EDO) r ter soluções do tipo $ y = e^{rt} $. Vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares e funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da EDO é da forma $ y = e^{rt} $. Essa é uma maneira comum de resolver EDOs lineares porque nos permite transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $. Se $ y = e^{rt} $, então:
y
Isso vem da regra básica de derivação das funções exponenciais.

Passo 4

Vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dt} $ na EDO original:
y
Fatorando $ e^{rt} $, temos:
dydt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, a equação fica:
r e^rt - 8 e^rt = 0

Passo 5

Resolvendo a equação acima para $ r $, temos:
r
Esse é o valor que satisfaz a equação.

Resposta

O valor de $ r $ que faz a EDO r ter soluções da forma $ y = e^{rt} $ é $ r = 8 $.

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