Determinar os valores de
para os quais a EDO dada tem soluções da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente encontrar os valores de $ r $ que fazem a equação diferencial ordinária (EDO)
ter soluções do tipo $ y = e^{rt} $. Vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares e funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da EDO é da forma $ y = e^{rt} $. Essa é uma maneira comum de resolver EDOs lineares porque nos permite transformar a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ t $. Se $ y = e^{rt} $, então:
Isso vem da regra básica de derivação das funções exponenciais.
Passo 4
Vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dt} $ na EDO original:
Fatorando $ e^{rt} $, temos:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, a equação fica:
Passo 5
Resolvendo a equação acima para $ r $, temos:
Esse é o valor que satisfaz a equação.
Resposta
O valor de $ r $ que faz a EDO
ter soluções da forma $ y = e^{rt} $ é $ r = 8 $.