Utilize o método da substituição para calcular as integrais definidas abaixo.
integral0^pi / 2 cos (x) sen(sen(x)) d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida
integral0^pi/2 cos(x),sinl(sin(x)r),dx
usando o método da substituição. O conteúdo envolvido é a integração de uma composição de funções, onde reconhecemos uma função cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Observando o integrando, veja que sin(x) é uma função interna cuja derivada é cos(x). Então fazemos a substituição
u = sin(x)

Passo 3

Derivando ambos os lados, obtemos
du = cos(x),dx
e, ao mudar os limites de integração: quando x=0, u=sin(0)=0; e quando x=pi/2, u=sin(pi/2)=1.

Passo 4

Com essa troca a integral em x vira uma integral em u:
integral0^pi/2 cos(x),sinl(sin(x)r),dx = integral0^1 sin(u),du

Passo 5

Agora basta integrar sin(u):
integral sin(u),du = -cos(u)
Logo,
integral0^1 sin(u),du = l[-cos(u)r]0^1 = -cos(1) + cos(0) = 1 - cos(1)

Resposta

1 - \cos(1)

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