Determinar a vazão máxima em uma pequena bacia hidrográfica rural de 2,0 \mathrm{~km}^{2} de área de drenagem, para o período de retorno de 50 anos, sabendo-se que:
i) a área apresenta topografia composta de morros, com declividade média igual a 4,5 \%; solo com permeabilidade média (nem arenoso, nem argiloso); e cobertura contendo 70% de área cultivada e área restante composta de árvores naturais;
ii) o desnível entre a seção do curso d’água, para o qual se calcula a vazão, e o ponto mais remoto da bacia é de 52 m e a extensão deste curso d’água é de 2,9 \mathrm{~km};
iii) a equação IDF da região é dada por i=\frac{1000 \times T^{0,2}}{(t+20)^{0,8}}
iv) adotar coeficiente de escoamento \mathrm{C}=0,35, considerando a cobertura mista da bacia.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedido: determinar a vazão máxima (vazão de pico) para o período de retorno de 50 anos na bacia apresentada.
  • Dados fornecidos:
    • Área de drenagem: A=2{,}0\\ \mathrm{km^{2}}.
    • Topografia: morros, declividade média do terreno =4{,}5\% (informação de caracterização).
    • Solo: permeabilidade média (informação de caracterização).
    • Cobertura: 70\% cultivada e 30\% árvores naturais; adotado coeficiente de escoamento C=0{,}35.
    • Desnível entre a seção de cálculo e o ponto mais remoto: \Delta h=52\\ \mathrm{m}.
    • Extensão do curso d’água (comprimento até o ponto mais remoto): L=2{,}9\\ \mathrm{km}.
    • Equação IDF dada: i=\frac{1000\times T^{0,2}}{(t+20)^{0,8}}onde i é a intensidade (unidade a determinar), T é o período de retorno em anos e t é a duração da chuva (em minutos — assumido pela fórmula).
    • Período de retorno pedido: T=50\\ \text{anos}.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação e fórmulas principais)
  • Método escolhido: método racional (clássico) para pico de cheia em pequenas bacias. Justificativa curta: bacia pequena ( 2{,}0\\ \mathrm{km^2}) e foi fornecido um coeficiente de escoamento C e uma fórmula IDF — tudo compatível com o método racional.
  • Fórmula do método racional e o que cada símbolo significa: Q = C\; i\; A\; konde:
    • Q é a vazão de pico em \mathrm{m^3/s};
    • C é o coeficiente de escoamento adimensional (dado: 0{,}35);
    • i é a intensidade média da chuva correspondente à duração igual ao tempo de concentração, em \mathrm{mm/h};
    • A é a área da bacia em \mathrm{km^2};
    • k é o fator de conversão de \mathrm{mm/h}\cdot\mathrm{km^2} para \mathrm{m^3/s}. Explicarei e calcularei k no passo seguinte.
  • Importante: no método racional, a intensidade i deve ser a intensidade média para uma chuva com duração igual ao tempo de concentração t_c da bacia. Então precisamos calcular t_c.
  • Para t_c usarei a fórmula empírica de Kirpich (muito usada em bacias pequenas): t_c = 0{,}0195\; L^{0,77}\; S^{-0,385}em que:
    • t_c é o tempo de concentração em minutos;
    • L é o comprimento do curso d’água principal em metros;
    • S é a declividade média do curso d’água (adimensional: queda/comprimento).
  • Observação sobre a declividade: o enunciado dá a declividade média do terreno ( 4{,}5\%) e também fornece desnível e extensão do curso d’água. Para a fórmula de Kirpich é mais apropriado usar a declividade do curso d’água, que calcularemos a partir do desnível e da extensão fornecidos.

Passo 3

Cálculo da declividade do curso d’água e conversões iniciais
  • Converter L para metros: L = 2{,}9\\ \mathrm{km} = 2900\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a declividade (seno médio aproximado) do curso d’água a partir do desnível: S=\frac{\Delta h}{L}=\frac{52}{2900}.Agora o valor numérico: S=\frac{52}{2900}=0{,}017931\\ (\text{adimensional})\approx0{,}01793.

Passo 4

Cálculo do tempo de concentração t_c pela fórmula de Kirpich (detalhando cada passo)
  • Fórmula de Kirpich: t_c = 0{,}0195\; L^{0,77}\; S^{-0,385}.Substituindo L=2900\\ \mathrm{m} e S=0{,}017931:
    • Calcular L^{0,77}. Primeiro: L^{0,77}=2900^{0,77}\approx 464{,}8.(cálculo por expoentes: 2900^{0,77} \approx e^{0{,}77\ln 2900}).
    • Calcular S^{-0,385}: S^{-0,385} = (0{,}017931)^{-0,385}\approx 4{,}70.
    • Multiplicar tudo: t_c = 0{,}0195 \times 464{,}8 \times 4{,}70 \approx 42{,}6\\ \text{min}.
  • Portanto: t_c \approx 42{,}6\\ \text{min}.

Passo 5

Cálculo da intensidade i usando a fórmula IDF fornecida (detalhando etapas)
  • A fórmula IDF é: i=\frac{1000\times T^{0,2}}{(t+20)^{0,8}}.Aqui T=50 (anos) e t é a duração em minutos, que no método racional tomamos igual a t_c. Logo t=42{,}6.
  • Calcular T^{0,2}: T^{0,2}=50^{0,2}\approx 2{,}186.
  • Calcular t+20 e elevar a 0{,}8: t+20 = 42{,}6+20=62{,}6, \qquad (t+20)^{0,8}=62{,}6^{0,8}\approx 27{,}36.
  • Agora a intensidade: i=\frac{1000\times 2{,}186}{27{,}36}\approx \frac{2186}{27{,}36}\approx 79{,}9\\ \mathrm{mm/h}.
  • Interpretação: a intensidade média correspondente ao tempo de concentração e ao período de retorno de 50 anos é aproximadamente 79{,}9\\ \mathrm{mm/h}.

Passo 6

Fator de conversão e aplicação da fórmula racional (explicando a conversão de unidades)
  • Derivação do fator de conversão k:
    • 1\\ \mathrm{mm/h} sobre 1\\ \mathrm{km^2} gera um escoamento volumétrico igual a: \frac{1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{h}}\times 10^{6}\\ \mathrm{m^2} = 1000\\ \mathrm{m^3/h}.
    • Convertendo para \mathrm{m^3/s}: 1000\\ \mathrm{m^3/h} \times \frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}} = \frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 0{,}27778\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Portanto o fator k que transforma i em \mathrm{mm/h} e A em \mathrm{km^2} para Q em \mathrm{m^3/s} é: k=0{,}27778.
  • Aplicar a fórmula racional: Q = C\; i\; A\; k.Substituindo valores: C=0{,}35,\qquad i=79{,}9\\ \mathrm{mm/h},\qquad A=2{,}0\\ \mathrm{km^2},\qquad k=0{,}27778.

Passo 7

Cálculo numérico final da vazão de pico (mostrar multiplicações passo a passo)
  • Primeiro calcular i\times A: i\times A = 79{,}9 \times 2{,}0 = 159{,}8.
  • Multiplicar por C: C\,(iA) = 0{,}35 \times 159{,}8 = 55{,}93.
  • Multiplicar pelo fator k: Q = 55{,}93 \times 0{,}27778 \approx 15{,}54\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais): Q_{50}\approx 15{,}54\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

Q_{50}=15{,}54\\ \mathrm{m^3/s}

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