Questão 4 - Uma parede é composta por duas camadas diferentes dispostas em paralelo. O material A possui condutividade térmica de 0,8 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), espessura de 0,1 \mathrm{~m} e área de 0,6 \mathrm{~m}^{2}. Já o material B possui condutividade térmica de 1,2 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), espessura de 0,1 \mathrm{~m} e área de 0,4 \mathrm{~m}^{2}. A temperatura interna é de 120^{\circ} \mathrm{C} e a externa 30^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
  1. A resistência térmica de cada material ( \mathrm{R}_{\mathrm{A}} e \mathrm{R}_{\mathrm{B}} ).
  2. A resistência térmica equivalente da parede ( \mathrm{R}_{\mathrm{eq}} ).
  3. A taxa de transferência de calor total (\dot{Q}).
Cálculo das resistências individuais
R=\frac{L}{k A}
\mathrm{R}_{\mathrm{A}}=0,208 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
\mathrm{R}_{\mathrm{B}}=0,208 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
Cálculo da resistência equivalente
\frac{1}{R_{e q}}=\frac{1}{R_{A}}+\frac{1}{R_{B}}
R_{e q}=0,104 \mathrm{~K} / \mathrm{W}
Taxa de transferência de calor
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{e q}}
\dot{Q}=865,4 W

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
  • Material A:
    • condutividade térmica k_A=0{,}8\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • espessura L_A=0{,}1\\ \mathrm{m}
    • área A_A=0{,}6\\ \mathrm{m^2}
  • Material B:
    • condutividade térmica k_B=1{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
    • espessura L_B=0{,}1\\ \mathrm{m}
    • área A_B=0{,}4\\ \mathrm{m^2}
  • Temperaturas:
    • interna T_i=120^\circ\mathrm{C}
    • externa T_e=30^\circ\mathrm{C}
O enunciado pede:
  1. Calcular a resistência térmica de cada material: R_A e R_B.
  2. Calcular a resistência térmica equivalente da parede R_{eq} (os dois caminhos estão em paralelo).
  3. Calcular a taxa de transferência de calor total \dot{Q} entre os dois lados.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (explicação didática passo a passo).
  • Resistência térmica de condução de uma placa plana: é a “dificuldade” que o calor tem para atravessar a placa. A fórmula é
R=\frac{L}{k\,A},
onde:
  • R é a resistência térmica em \mathrm{K/W},
  • L é a espessura da camada em \mathrm{m},
  • k é a condutividade térmica em \mathrm{W/(m\cdot K)},
  • A é a área transversal ao fluxo de calor em \mathrm{m^2}.
Unidades: \dfrac{\mathrm{m}}{(\mathrm{W/(m\cdot K)})\cdot\mathrm{m^2}}=\mathrm{K/W}, ou seja, faz sentido físico.
  • Quando há dois caminhos térmicos paralelos (como duas camadas lado a lado trocando calor entre as mesmas temperaturas), as condutâncias térmicas somam. Em termos de resistências isso equivale a:
\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}.
Isso é análogo a resistores elétricos em paralelo.
  • A taxa de transferência de calor total entre as duas temperaturas é dada por:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{eq}},
onde \Delta T = T_i - T_e.

Passo 3

Cálculo de R_A com desenvolvimento detalhado.
Aplicando a fórmula para o material A:
R_A=\frac{L_A}{k_A\,A_A}.
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
R_A=\frac{0{,}1}{0{,}8\cdot 0{,}6}.
Calcule o denominador primeiro:
0{,}8\cdot 0{,}6=0{,}48.
Agora a divisão:
R_A=\frac{0{,}1}{0{,}48}=\frac{1}{4{,}8}=\frac{5}{24}.
Como decimal:
R_A=0{,}208333\ldots\\ \mathrm{K/W}.
Arredondando razoavelmente (três casas decimais úteis):
R_A\approx 0{,}208\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Cálculo de R_B com desenvolvimento detalhado.
Aplicando a fórmula para o material B:
R_B=\frac{L_B}{k_B\,A_B}.
Substituindo:
R_B=\frac{0{,}1}{1{,}2\cdot 0{,}4}.
Denominador:
1{,}2\cdot 0{,}4=0{,}48.
Então:
R_B=\frac{0{,}1}{0{,}48}=\frac{5}{24}=0{,}208333\ldots\\ \mathrm{K/W}.
Logo, com o mesmo arredondamento:
R_B\approx 0{,}208\\ \mathrm{K/W}.
Observação intuitiva: apesar de k_A e k_B serem diferentes, os produtos k_A A_A e k_B A_B deram iguais ( 0{,}48), então as resistências individuais coincidem.

Passo 5

Cálculo da resistência equivalente R_{eq} (paralelo).
Usando a relação em paralelo:
\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_B}.
Como R_A=R_B=R, simplifica para:
\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}.
Portanto
R_{eq}=\frac{R}{2}.
Substituindo R=\dfrac{5}{24}:
R_{eq}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{24}=\frac{5}{48}.
Como decimal:
R_{eq}=\frac{5}{48}=0{,}1041666\ldots\\ \mathrm{K/W}.
Arredondando:
R_{eq}\approx 0{,}104\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Cálculo da taxa de transferência de calor total \dot{Q}.
Primeiro a diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_e = 120^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=90\\ \mathrm{K}.
Agora usar \dot{Q}=\dfrac{\Delta T}{R_{eq}}:
\dot{Q}=\frac{90}{5/48}=90\cdot\frac{48}{5}.
Calcule:
\frac{90}{5}=18,\qquad 18\cdot 48=864.
Portanto
\dot{Q}=864\\ \mathrm{W}.
Comentário de verificação rápida: esse valor faz sentido porque com resistência bem baixa e diferença de temperatura de 90\\ \mathrm{K} a transferência é da ordem de algumas centenas de watts.

Resposta

R_A=0{,}208\\ \mathrm{K/W}
R_B=0{,}208\\ \mathrm{K/W}
R_{eq}=0{,}104\\ \mathrm{K/W}
\dot{Q}=864\\ \mathrm{W}

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