Determinar as velocidades terminais para separar pó de diamante com os seguintes diâmetros de partículas:
e
. A massa específica do diamante é
e a esfericidade das partículas é 0,998 . O fluido de arraste é a água a
.
Passo 1
O enunciado pede as velocidades terminais (velocidades de assentamento no equilíbrio entre peso aparente e arrasto) para partículas de pó de diamante com diâmetros
e
. Dados fornecidos e relevantes:
- Diâmetros das partículas:
- Massa específica do diamante:
- Esfericidade:
(próxima de 1). - Fluido: água a
- O que se pede: a velocidade terminal (em m/s) para cada diâmetro.
Passo 2
Decisão do método a usar (explico como um colega): para partículas muito pequenas a queda normalmente ocorre em regime de baixíssimo número de Reynolds, onde a força de arrasto é bem descrita pela lei de Stokes. Vou:
- Usar a expressão de Stokes para velocidade terminal de uma partícula (tratada como quase-esfera),
- Calcular a velocidade terminal,
- checar o número de Reynolds para confirmar que o regime é realmente de Stokes (ou seja,
).
A esfericidadeé praticamente 1, então a correção de forma é negligenciável aqui — explico mais adiante.
Passo 3
Apresento a fórmula de Stokes e explico cada termo. Para uma partícula esférica em regime de Stokes, a velocidade terminal
é dada por:
onde:
-
é a velocidade terminal (m/s), -
é a densidade da partícula (kg/m^3), -
é a densidade do fluido (kg/m^3), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o diâmetro da partícula (m), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s = kg/(m·s)).
Comentário simples: a fórmula vem do equilíbrio entre a força peso aparente
e a força de arrasto em regime viscoso
, resolvendo em
para uma esfera; aqui
é o volume da esfera e leva ao fator
no numerador e ao
no denominador.
Passo 4
Conversão de unidades e propriedades da água a
(valores padrão usados em cálculos de engenharia):
- Converter densidade do diamante:
- Densidade da água a
: usarei (valor tabelado aproximado). - Viscosidade dinâmica da água a
: (ou ). - Converter diâmetros para metros:
Passo 5
Calcular o fator constante que aparece na fórmula para poupar repetição:
Defino . Então
Defino
O fator
será usado para obter
. Calculemos
:
Faço as contas passo a passo:
Portanto,
com
em metros.
Passo 6
Cálculo da velocidade terminal para
.
- Primeiro
- Aplicando
:
Para dar intuição, em micrômetros por segundo:
Passo 7
Verificação do regime (cálculo do número de Reynolds) para
. O número de Reynolds é
Para
:
Calcule:
Como
, o uso da lei de Stokes está plenamente justificado para
.
Passo 8
Cálculo da velocidade terminal para
.
- Primeiro
- Aplicando
:
Em
:
Passo 9
Verificação do regime para
:
Cálculo aproximado:
Novamente
, então Stokes é válido para
.
Passo 10
Cálculo da velocidade terminal para
.
- Primeiro
- Aplicando
:
Em
:
Passo 11
Verificação do regime para
:
Cálculo aproximado:
Ainda
, então Stokes permanece válido para
.
Passo 12
Comentário sobre esfericidade:
significa que as partículas são praticamente esféricas. Correções de arrasto por não esfericidade normalmente aparecem multiplicando o arrasto por fatores próximos de
ou através de diâmetros equivalentes, mas com
tão próximo de 1 o efeito é desprezível frente às incertezas das propriedades da água e arredondamentos numéricos. Logo, as velocidades calculadas pela fórmula de Stokes são apropriadas.