Determinar as velocidades terminais para separar pó de diamante com os seguintes diâmetros de partículas: 0,5 \mu \mathrm{~m}, 1,5 \mu \mathrm{~m} e 2,5 \mu \mathrm{~m}. A massa específica do diamante é 3,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a esfericidade das partículas é 0,998 . O fluido de arraste é a água a 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede as velocidades terminais (velocidades de assentamento no equilíbrio entre peso aparente e arrasto) para partículas de pó de diamante com diâmetros \,0,5\\ \mu\mathrm{m},\;1,5\\ \mu\mathrm{m} e \,2,5\\ \mu\mathrm{m}. Dados fornecidos e relevantes:
  • Diâmetros das partículas: \,d_1=0,5\\ \mu\mathrm{m},\;d_2=1,5\\ \mu\mathrm{m},\;d_3=2,5\\ \mu\mathrm{m}.
  • Massa específica do diamante: \,\rho_p=3,5\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Esfericidade: \,\Psi=0,998 (próxima de 1).
  • Fluido: água a \,30^\circ\mathrm{C}.
  • O que se pede: a velocidade terminal (em m/s) para cada diâmetro.

Passo 2

Decisão do método a usar (explico como um colega): para partículas muito pequenas a queda normalmente ocorre em regime de baixíssimo número de Reynolds, onde a força de arrasto é bem descrita pela lei de Stokes. Vou:
  1. Usar a expressão de Stokes para velocidade terminal de uma partícula (tratada como quase-esfera),
  2. Calcular a velocidade terminal,
  3. checar o número de Reynolds para confirmar que o regime é realmente de Stokes (ou seja, Re\ll1).
    A esfericidade \Psi=0,998 é praticamente 1, então a correção de forma é negligenciável aqui — explico mais adiante.

Passo 3

Apresento a fórmula de Stokes e explico cada termo. Para uma partícula esférica em regime de Stokes, a velocidade terminal \,v_t é dada por:
v_t=\frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^2}{18\,\mu},
onde:
  • \,v_t é a velocidade terminal (m/s),
  • \,\rho_p é a densidade da partícula (kg/m^3),
  • \,\rho_f é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • \,g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \,d é o diâmetro da partícula (m),
  • \,\mu é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s = kg/(m·s)).
Comentário simples: a fórmula vem do equilíbrio entre a força peso aparente \,(\rho_p-\rho_f)\,V\,g e a força de arrasto em regime viscoso \,3\pi\mu d v_t, resolvendo em v_t para uma esfera; aqui V é o volume da esfera e leva ao fator d^2 no numerador e ao 18\mu no denominador.

Passo 4

Conversão de unidades e propriedades da água a \,30^\circ\mathrm{C} (valores padrão usados em cálculos de engenharia):
  • Converter densidade do diamante: \,\rho_p=3{,}5\\ \mathrm{g/cm^3}=3500\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Densidade da água a 30^\circ\mathrm{C}: usarei \,\rho_f=995{,}9\\ \mathrm{kg/m^3} (valor tabelado aproximado).
  • Viscosidade dinâmica da água a 30^\circ\mathrm{C}: \,\mu=0{,}000797\\ \mathrm{Pa\cdot s} (ou 0{,}797\\ \mathrm{mPa\cdot s}).
  • Converter diâmetros para metros: \begin{aligned} d_1&=0{,}5\\ \mu\mathrm{m}=0{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m},\\\ d_2&=1{,}5\\ \mu\mathrm{m}=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m},\\\ d_3&=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 5

Calcular o fator constante que aparece na fórmula para poupar repetição:
Defino \Delta\rho=\rho_p-\rho_f. Então
\Delta\rho=3500-995{,}9=2504{,}1\\ \mathrm{kg/m^3}.
O fator
C=\frac{\Delta\rho\;g}{18\,\mu}
será usado para obter v_t=C\,d^2. Calculemos C:
C=\frac{2504{,}1\times9{,}81}{18\times0{,}000797}.
Faço as contas passo a passo:
2504{,}1\times9{,}81=24565{,}5\quad(\text{aprox.})
18\times0{,}000797=0{,}014346
C\approx\frac{24565{,}5}{0{,}014346}\approx1{,}712\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}s^{-1}}.
Portanto, \;v_t\approx1{,}712\times10^{6}\;d^2 com d em metros.

Passo 6

Cálculo da velocidade terminal para \,d_1=0{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro d_1^2=(0{,}5\times10^{-6})^2=0{,}25\times10^{-12}=2{,}5\times10^{-13}\\ \mathrm{m^2}.
  • Aplicando v_t=C\,d^2:
v_{t1}=1{,}712\times10^{6}\times2{,}5\times10^{-13}\approx4{,}28\times10^{-7}\\ \mathrm{m/s}.
Para dar intuição, em micrômetros por segundo:
v_{t1}\approx0{,}428\\ \mu\mathrm{m/s}.

Passo 7

Verificação do regime (cálculo do número de Reynolds) para \,d_1. O número de Reynolds é
Re=\frac{\rho_f\,v_t\,d}{\mu}.
Para d_1:
Re_1=\frac{995{,}9\times4{,}28\times10^{-7}\times0{,}5\times10^{-6}}{0{,}000797}.
Calcule:
995{,}9\times4{,}28\times10^{-7}\approx4{,}26\times10^{-4},
4{,}26\times10^{-4}\times0{,}5\times10^{-6}=2{,}13\times10^{-10},
Re_1\approx\frac{2{,}13\times10^{-10}}{0{,}000797}\approx2{,}7\times10^{-7}.
Como Re_1\ll1, o uso da lei de Stokes está plenamente justificado para d_1.

Passo 8

Cálculo da velocidade terminal para \,d_2=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro d_2^2=(1{,}5\times10^{-6})^2=2{,}25\times10^{-12}\\ \mathrm{m^2}.
  • Aplicando v_t=C\,d^2:
v_{t2}=1{,}712\times10^{6}\times2{,}25\times10^{-12}\approx3{,}85\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}.
Em \mu\mathrm{m/s}:
v_{t2}\approx3{,}85\\ \mu\mathrm{m/s}.

Passo 9

Verificação do regime para \,d_2:
Re_2=\frac{995{,}9\times3{,}85\times10^{-6}\times1{,}5\times10^{-6}}{0{,}000797}.
Cálculo aproximado:
995{,}9\times3{,}85\times10^{-6}\approx3{,}84\times10^{-3},
3{,}84\times10^{-3}\times1{,}5\times10^{-6}=5{,}76\times10^{-9},
Re_2\approx\frac{5{,}76\times10^{-9}}{0{,}000797}\approx7{,}2\times10^{-6}.
Novamente Re_2\ll1, então Stokes é válido para d_2.

Passo 10

Cálculo da velocidade terminal para \,d_3=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro d_3^2=(2{,}5\times10^{-6})^2=6{,}25\times10^{-12}\\ \mathrm{m^2}.
  • Aplicando v_t=C\,d^2:
v_{t3}=1{,}712\times10^{6}\times6{,}25\times10^{-12}\approx1{,}07\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
Em \mu\mathrm{m/s}:
v_{t3}\approx10{,}7\\ \mu\mathrm{m/s}.

Passo 11

Verificação do regime para \,d_3:
Re_3=\frac{995{,}9\times1{,}07\times10^{-5}\times2{,}5\times10^{-6}}{0{,}000797}.
Cálculo aproximado:
995{,}9\times1{,}07\times10^{-5}\approx1{,}065\times10^{-2},
1{,}065\times10^{-2}\times2{,}5\times10^{-6}=2{,}66\times10^{-8},
Re_3\approx\frac{2{,}66\times10^{-8}}{0{,}000797}\approx3{,}3\times10^{-5}.
Ainda Re_3\ll1, então Stokes permanece válido para d_3.

Passo 12

Comentário sobre esfericidade: \Psi=0{,}998 significa que as partículas são praticamente esféricas. Correções de arrasto por não esfericidade normalmente aparecem multiplicando o arrasto por fatores próximos de 1/\Psi ou através de diâmetros equivalentes, mas com \Psi tão próximo de 1 o efeito é desprezível frente às incertezas das propriedades da água e arredondamentos numéricos. Logo, as velocidades calculadas pela fórmula de Stokes são apropriadas.

Resposta

d=0{,}5\\ \mu\mathrm{m}:\\ v_t\approx4{,}28\times10^{-7}\\ \mathrm{m/s}\\ (0{,}428\\ \mu\mathrm{m/s})
d=1{,}5\\ \mu\mathrm{m}:\\ v_t\approx3{,}85\times10^{-6}\\ \mathrm{m/s}\\ (3{,}85\\ \mu\mathrm{m/s})
d=2{,}5\\ \mu\mathrm{m}:\\ v_t\approx1{,}07\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}\\ (10{,}7\\ \mu\mathrm{m/s})

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