Partículas sólidas esféricas sedimentam sob campo gravitacional em água a
(
e
). O diâmetro das partículas é
. A fração volumétrica das partículas é de 0,206 , determine a velocidade de sedimentação.
Dados:
.
Dados:
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos (converti para unidades SI quando necessário):
O que se pede: determinar a velocidade de sedimentação das partículas sólidas esféricas na suspensão com a fração volumétrica dada.
Passo 2
Princípio físico e equação para uma partícula isolada (caso não haja interação): quando a partícula cai em regime de velocidade terminal há equilíbrio entre força peso menos empuxo e força de arrasto. Para esfera em fluxo laminar (regime de Stokes) o arrasto é
A força peso é
e o empuxo é
, onde
é o volume da esfera. No equilíbrio:
O volume de uma esfera de diâmetro
é
. Substituindo e isolando
(velocidade terminal de uma partícula isolada em Stokes) obtemos:
Aqui cada símbolo significa:
densidade da partícula,
densidade do fluido,
aceleração da gravidade,
diâmetro da esfera,
viscosidade dinâmica,
velocidade de sedimentação de uma partícula isolada.
Passo 3
Cálculo da velocidade de uma partícula isolada usando a fórmula de Stokes. Primeiro o termo
:
Agora aplicando a fórmula
Vou fazer passo a passo os termos numéricos:
. O numerador fica aproximadamente
e o denominador
Dividindo,
(ou seja
).
Passo 4
Verificação do regime (importante para saber se Stokes vale): calcular o número de Reynolds relativo à partícula isolada
Substituindo os valores:
Como
, o regime é de Stokes (fluxo laminar ao redor da partícula), então a fórmula usada no Passo 2 é apropriada para a partícula isolada.
Passo 5
Agora: a suspensão tem fração volumétrica
. Em suspensões concentradas as partículas interferem entre si e a velocidade média de sedimentação é reduzida (settling hindered). Uma correção empírica amplamente usada é a lei de Richardson–Zaki:
onde
é um expoente que depende do número de Reynolds característico. Para partículas em regime de Stokes (tipicamente
) o valor experimental geralmente adotado é
. Como nosso
, usaremos
.
Passo 6
Calcular o fator de obstrução
e então
. Primeiro
Aplicando o expoente
Então a velocidade de sedimentação da suspensão é
Em unidades mais intuitivas isso é cerca de
.
Passo 7
Breto rápido de interpretação e incentivo: o valor está bem abaixo de
porque as partículas são pequenas (30 μm) e a água tem viscosidade razoável; além disso a concentração
reduz a velocidade em cerca de
em relação à partícula isolada. Se você quiser calcular com outro expoente (caso o professor peça), repita o Passo 6 com o novo
.