Partículas sólidas esféricas sedimentam sob campo gravitacional em água a 30^{\circ} \mathrm{C} ( \rho_{\mathrm{f}}=995,55 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=8,01 \cdot 10^{-4} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s} ). O diâmetro das partículas é 30 \mu \mathrm{~m}. A fração volumétrica das partículas é de 0,206 , determine a velocidade de sedimentação.
Dados: \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{m}^{2}, \rho_{\mathrm{s}}=2,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos (converti para unidades SI quando necessário):
\rho_{\mathrm{f}}=995,55\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade da água a 30^\circ\mathrm{C})
\mu=8,01\cdot10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (viscosidade dinâmica)
d=30\\ \mu\mathrm{m}=30\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m} (diâmetro das partículas)
\varphi=0,206 (fração volumétrica de partículas)
\mathrm{g}=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}
\rho_{\mathrm{s}}=2{,}5\\ \mathrm{g/cm^{3}}=2500\\ \mathrm{kg/m^{3}} (converti para kg/m³)
O que se pede: determinar a velocidade de sedimentação das partículas sólidas esféricas na suspensão com a fração volumétrica dada.

Passo 2

Princípio físico e equação para uma partícula isolada (caso não haja interação): quando a partícula cai em regime de velocidade terminal há equilíbrio entre força peso menos empuxo e força de arrasto. Para esfera em fluxo laminar (regime de Stokes) o arrasto é
F_D = 3\pi \mu d v.
A força peso é F_g = V \rho_{\mathrm{s}} g e o empuxo é F_b = V \rho_{\mathrm{f}} g, onde V é o volume da esfera. No equilíbrio:
V(\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}})g = 3\pi \mu d v_{s0}.
O volume de uma esfera de diâmetro d é V=\dfrac{\pi d^{3}}{6}. Substituindo e isolando v_{s0} (velocidade terminal de uma partícula isolada em Stokes) obtemos:
v_{s0}=\frac{(\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}})\,g\,d^{2}}{18\mu}.
Aqui cada símbolo significa: \rho_{\mathrm{s}} densidade da partícula, \rho_{\mathrm{f}} densidade do fluido, g aceleração da gravidade, d diâmetro da esfera, \mu viscosidade dinâmica, v_{s0} velocidade de sedimentação de uma partícula isolada.

Passo 3

Cálculo da velocidade de uma partícula isolada usando a fórmula de Stokes. Primeiro o termo (\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}):
\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}=2500-995{,}55=1504{,}45\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora aplicando a fórmula
v_{s0}=\frac{1504{,}45\cdot 9{,}81\cdot (30\cdot10^{-6})^{2}}{18\cdot 8{,}01\cdot10^{-4}}.
Vou fazer passo a passo os termos numéricos: (30\cdot10^{-6})^{2}=9{,}0\cdot10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}}. O numerador fica aproximadamente
1504{,}45\cdot 9{,}81\cdot 9{,}0\cdot10^{-10}\approx 1{,}328279\times10^{-5}
e o denominador
18\cdot 8{,}01\cdot10^{-4}=1{,}4418\cdot10^{-2}.
Dividindo,
v_{s0}\approx \frac{1{,}328279\times10^{-5}}{1{,}4418\times10^{-2}}\approx 9{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
(ou seja \,v_{s0}\approx 0{,}000922\\ \mathrm{m/s}=0{,}922\\ \mathrm{mm/s}).

Passo 4

Verificação do regime (importante para saber se Stokes vale): calcular o número de Reynolds relativo à partícula isolada
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{\mathrm{f}} v_{s0} d}{\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}\approx\frac{995{,}55\cdot 9{,}22\times10^{-4}\cdot 30\times10^{-6}}{8{,}01\times10^{-4}}\approx 3{,}4\times10^{-2}.
Como \mathrm{Re}\ll 1, o regime é de Stokes (fluxo laminar ao redor da partícula), então a fórmula usada no Passo 2 é apropriada para a partícula isolada.

Passo 5

Agora: a suspensão tem fração volumétrica \varphi=0{,}206. Em suspensões concentradas as partículas interferem entre si e a velocidade média de sedimentação é reduzida (settling hindered). Uma correção empírica amplamente usada é a lei de Richardson–Zaki:
v_{s}=v_{s0}\,(1-\varphi)^{n},
onde n é um expoente que depende do número de Reynolds característico. Para partículas em regime de Stokes (tipicamente \mathrm{Re}<0{,}2) o valor experimental geralmente adotado é n\approx 4{,}65. Como nosso \mathrm{Re}\approx 0{,}034, usaremos n=4{,}65.

Passo 6

Calcular o fator de obstrução (1-\varphi)^{n} e então v_{s}. Primeiro
1-\varphi=1-0{,}206=0{,}794.
Aplicando o expoente
(1-\varphi)^{4{,}65}=0{,}794^{4{,}65}\approx 0{,}342.
Então a velocidade de sedimentação da suspensão é
v_{s}=9{,}22\times10^{-4}\cdot 0{,}342\approx 3{,}15\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Em unidades mais intuitivas isso é cerca de 0{,}315\\ \mathrm{mm/s}.

Passo 7

Breto rápido de interpretação e incentivo: o valor está bem abaixo de 1\\ \mathrm{mm/s} porque as partículas são pequenas (30 μm) e a água tem viscosidade razoável; além disso a concentração \varphi=0{,}206 reduz a velocidade em cerca de 66\% em relação à partícula isolada. Se você quiser calcular com outro expoente (caso o professor peça), repita o Passo 6 com o novo n.

Resposta

\,v_{s}\approx 3{,}15\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}

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