Determinar a velocidade terminal de uma partícula esférica de diâmetro 75 \mu \mathrm{~m} em elutriador. O líquido é a água a 30^{\circ} \mathrm{C} e a massa específica da partícula é de 3,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a velocidade terminal de uma partícula esférica em um elutriador. Dados fornecidos no enunciado que vou usar explicitamente:
  • diâmetro da partícula: d=75\\ \mu\mathrm{m};
  • temperatura do líquido (água): 30^\circ\mathrm{C};
  • massa específica (densidade) da partícula: \rho_p=3,8\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
O líquido é água a 30^\circ\mathrm{C}, então vou precisar das propriedades da água (densidade e viscosidade dinâmica) a essa temperatura — eu as pegarei de tabelas padrão de propriedades da água a 30^\circ\mathrm{C} e as explicito nos passos seguintes.
O objetivo prático é achar a velocidade terminal (velocidade de queda relativa ao fluido, que no elutriador é a velocidade que o arrasto equilibra o peso efetivo da partícula). Vou calcular primeiro pela lei de Stokes (válida para baixos números de Reynolds) e depois verificar a validade usando o número de Reynolds; como o resultado cairá perto de Re\sim1, farei uma correção empírica (Schiller–Naumann) com iteração para obter um valor consistente.

Passo 2

Conversão de unidades e escolha das propriedades da água a 30^\circ\mathrm{C}. Vou converter tudo para o SI:
  • d=75\\ \mu\mathrm{m}=75\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • \rho_p=3,8\\ \mathrm{g/cm^{3}}=3{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Propriedades da água a 30^\circ\mathrm{C} (valores padrão de tabela):
  • densidade da água: \rho_f=995{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • viscosidade dinâmica: \mu=0{,}797\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Constante gravitacional: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Expliquei de onde peguei os valores da água: usei tabelas padrão; se sua tabela der valores ligeiramente diferentes, resultados mudarão pouco.)

Passo 3

Fórmula de Stokes (regime de escoamento laminar com Re\ll1). A lei de Stokes dá a velocidade terminal v_t para uma esfera pequena quando a força de arrasto viscosa linear equilibra o peso aparente da partícula:
v_t = \frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^{2}}{18\,\mu}.
Aqui:
  • \rho_p é a densidade da partícula ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • \rho_f é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • d é o diâmetro da esfera ( \mathrm{m});
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{Pa\cdot s}).
Vou aplicar essa fórmula com os números convertidos.

Passo 4

Cálculo usando a fórmula de Stokes (passo a passo com contas):
Primeiro calcule a diferença de densidades:
\rho_p-\rho_f = 3{,}8\times10^{3} - 995{,}7 = 2804{,}3\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calcule d^{2}:
d^{2} = (75\times10^{-6})^{2} = 5{,}625\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora substituo em Stokes:
v_{t,\mathrm{Stokes}} = \frac{(2804{,}3)(9{,}81)(5{,}625\times10^{-9})}{18(0{,}797\times10^{-3})}.
Faço as contas em etapas:
\text{numerador}=(2804{,}3)(9{,}81)(5{,}625\times10^{-9}) \approx 1{,}54745\times10^{-4}.
\text{denominador}=18(0{,}797\times10^{-3}) = 0{,}014346\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
v_{t,\mathrm{Stokes}} \approx \frac{1{,}54745\times10^{-4}}{0{,}014346} \approx 1{,}079\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, pela fórmula de Stokes eu obteria:
v_{t,\mathrm{Stokes}}\approx 1{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{≈ }1{,}08\\ \mathrm{cm/s}).

Passo 5

Verificação do número de Reynolds para checar validade de Stokes. O número de Reynolds para uma esfera é
Re = \frac{\rho_f\,v_t\,d}{\mu}.
Usando v_{t,\mathrm{Stokes}} calculado:
Re_{\mathrm{Stokes}} = \frac{995{,}7\cdot(1{,}079\times10^{-2})\cdot(75\times10^{-6})}{0{,}797\times10^{-3}} \approx 1{,}01.
Comentário: como Re\approx1 (não muito menor que 1), a hipótese estrita de Stokes ( Re\ll1) está no limite de validade. Isso significa que a fórmula de Stokes dá uma boa estimativa, mas é melhor corrigir o arrasto com um fator empírico adequado para Re na faixa do orde m de unidade.

Passo 6

Correção empírica (Schiller–Naumann) e equação geral de equilíbrio de forças. Para Re até algumas centenas usa-se a expressão empírica para o coeficiente de arrasto C_d:
C_d = \frac{24}{Re}\left(1+0{,}15\,Re^{0{,}687}\right).
Equilíbrio entre peso aparente e arrasto (forma geral) para a velocidade terminal v:
(\rho_p-\rho_f)\,V\,g = \tfrac{1}{2}C_d\,\rho_f\,A\,v^{2},
onde V=\tfrac{\pi d^{3}}{6} é o volume da esfera e A=\tfrac{\pi d^{2}}{4} é a sua seção transversal. Simplificando (cancelando \pi d^{2}) obtemos uma expressão prática:
v = \sqrt{\frac{\tfrac{4}{3}(\rho_p-\rho_f)\,d\,g}{C_d\,\rho_f}}.
Mas note que C_d depende de Re, que depende de v. Portanto devemos resolver de forma iterativa: começo com v de Stokes, calculo Re, então C_d, depois obtenho novo v, e repito até convergência.

Passo 7

Iteração numérica (mostrando as iterações e contas) — eu faço algumas iterações até convergir a um valor consistente.
Iteração 0 (já feita): usei v^{(0)}=v_{t,\mathrm{Stokes}}=1{,}079\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s} e achei Re^{(0)}\approx1{,}01.
Agora uso Schiller–Naumann para obter C_d^{(0)}:
C_d^{(0)} = \frac{24}{Re^{(0)}}\left(1+0{,}15\,(Re^{(0)})^{0{,}687}\right).
Com Re^{(0)}=1{,}01 obtenho numericamente C_d^{(0)}\approx27{,}35.
Com esse C_d^{(0)} calculo v^{(1)} pela fórmula:
v^{(1)} = \sqrt{\frac{\tfrac{4}{3}(2804{,}3)(75\times10^{-6})(9{,}81)}{27{,}35\,(995{,}7)}} \approx 1{,}005\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Calculo Re^{(1)}:
Re^{(1)}=\frac{995{,}7\cdot1{,}005\times10^{-2}\cdot75\times10^{-6}}{0{,}797\times10^{-3}}\approx0{,}942.
Iteração 2: com Re^{(1)}=0{,}942, obtenho
C_d^{(1)}\approx \frac{24}{0{,}942}\left(1+0{,}15(0{,}942)^{0{,}687}\right)\approx29{,}15.
Então
v^{(2)} = \sqrt{\frac{\tfrac{4}{3}(2804{,}3)(75\times10^{-6})(9{,}81)}{29{,}15\,(995{,}7)}} \approx 9{,}74\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
E
Re^{(2)}\approx \frac{995{,}7\cdot9{,}74\times10^{-3}\cdot75\times10^{-6}}{0{,}797\times10^{-3}}\approx0{,}913.
Iteração 3: com Re^{(2)}=0{,}913,
C_d^{(2)}\approx \frac{24}{0{,}913}\left(1+0{,}15(0{,}913)^{0{,}687}\right)\approx29{,}96,
v^{(3)} \approx \sqrt{\frac{\tfrac{4}{3}(2804{,}3)(75\times10^{-6})(9{,}81)}{29{,}96\,(995{,}7)}} \approx 9{,}60\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},
Re^{(3)}\approx0{,}900.
Iteração 4: repetindo novamente dá valores muito próximos; o processo converge para
v \approx 9{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(aproximadamente)}.
Comentário pedagógico: a iteração mostrou que a velocidade terminal corrigida por Schiller–Naumann é cerca de 10\% menor que a de Stokes porque o número de Reynolds não é desprezível. Para uma prova, é importante: primeiro calcule por Stokes e checar Re; se Re não for muito menor que 1, faça correção com um método empírico e itere até consistência.

Passo 8

Interpretação final e resultado em unidades práticas: o valor convergido é da ordem de grandeza de 10^{-2}\\ \mathrm{m/s}. Em unidades mais familiares:
v \approx 9{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}96\\ \mathrm{cm/s}.
Eu fiquei animado em mostrar a verificação do Re e a correção — assim você sabe o procedimento completo para uma prova: calcular, checar hipóteses e, se necessário, corrigir com um método empírico.

Resposta

v \approx 9{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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