Determinar a velocidade terminal de uma partícula esférica de diâmetro
em elutriador. O líquido é a água a
e a massa específica da partícula é de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a velocidade terminal de uma partícula esférica em um elutriador. Dados fornecidos no enunciado que vou usar explicitamente:
- diâmetro da partícula:
; - temperatura do líquido (água):
; - massa específica (densidade) da partícula:
.
O líquido é água a
, então vou precisar das propriedades da água (densidade e viscosidade dinâmica) a essa temperatura — eu as pegarei de tabelas padrão de propriedades da água a
e as explicito nos passos seguintes.
O objetivo prático é achar a velocidade terminal (velocidade de queda relativa ao fluido, que no elutriador é a velocidade que o arrasto equilibra o peso efetivo da partícula). Vou calcular primeiro pela lei de Stokes (válida para baixos números de Reynolds) e depois verificar a validade usando o número de Reynolds; como o resultado cairá perto de
, farei uma correção empírica (Schiller–Naumann) com iteração para obter um valor consistente.
Passo 2
Conversão de unidades e escolha das propriedades da água a
. Vou converter tudo para o SI:
-
. -
.
Propriedades da água a
(valores padrão de tabela):
- densidade da água:
; - viscosidade dinâmica:
.
Constante gravitacional:
.
(Expliquei de onde peguei os valores da água: usei tabelas padrão; se sua tabela der valores ligeiramente diferentes, resultados mudarão pouco.)
Passo 3
Fórmula de Stokes (regime de escoamento laminar com
). A lei de Stokes dá a velocidade terminal
para uma esfera pequena quando a força de arrasto viscosa linear equilibra o peso aparente da partícula:
Aqui:
-
é a densidade da partícula ( ); -
é a densidade do fluido ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é o diâmetro da esfera ( ); -
é a viscosidade dinâmica do fluido ( ).
Vou aplicar essa fórmula com os números convertidos.
Passo 4
Cálculo usando a fórmula de Stokes (passo a passo com contas):
Primeiro calcule a diferença de densidades:
Calcule
:
Agora substituo em Stokes:
Faço as contas em etapas:
Portanto, pela fórmula de Stokes eu obteria:
Passo 5
Verificação do número de Reynolds para checar validade de Stokes. O número de Reynolds para uma esfera é
Usando
calculado:
Comentário: como
(não muito menor que 1), a hipótese estrita de Stokes (
) está no limite de validade. Isso significa que a fórmula de Stokes dá uma boa estimativa, mas é melhor corrigir o arrasto com um fator empírico adequado para
na faixa do orde m de unidade.
Passo 6
Correção empírica (Schiller–Naumann) e equação geral de equilíbrio de forças. Para Re até algumas centenas usa-se a expressão empírica para o coeficiente de arrasto
:
Equilíbrio entre peso aparente e arrasto (forma geral) para a velocidade terminal
:
onde
é o volume da esfera e
é a sua seção transversal. Simplificando (cancelando
) obtemos uma expressão prática:
Mas note que
depende de
, que depende de
. Portanto devemos resolver de forma iterativa: começo com
de Stokes, calculo
, então
, depois obtenho novo
, e repito até convergência.
Passo 7
Iteração numérica (mostrando as iterações e contas) — eu faço algumas iterações até convergir a um valor consistente.
Iteração 0 (já feita): usei
e achei
.
Agora uso Schiller–Naumann para obter
:
Com
obtenho numericamente
.
Com esse
calculo
pela fórmula:
Calculo
:
Iteração 2: com
, obtenho
Então
E
Iteração 3: com
,
Iteração 4: repetindo novamente dá valores muito próximos; o processo converge para
Comentário pedagógico: a iteração mostrou que a velocidade terminal corrigida por Schiller–Naumann é cerca de
menor que a de Stokes porque o número de Reynolds não é desprezível. Para uma prova, é importante: primeiro calcule por Stokes e checar
; se
não for muito menor que 1, faça correção com um método empírico e itere até consistência.
Passo 8
Interpretação final e resultado em unidades práticas: o valor convergido é da ordem de grandeza de
. Em unidades mais familiares:
Eu fiquei animado em mostrar a verificação do
e a correção — assim você sabe o procedimento completo para uma prova: calcular, checar hipóteses e, se necessário, corrigir com um método empírico.