Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Faça o esboço do gráfico.
8 x=10-6 y+y^{2}\left(\operatorname{resp:} V\left(\frac{1}{8}, 3\right), F\left(\frac{17}{8}, 3\right), 8 x+15=0, y-3=0\right)

Passo 1

O enunciado pede as características de uma parábola dada pela equação
8x = 10 - 6y + y^2
O conteúdo envolvido é colocá-la na forma padrão
(y - k)^2 = 4p\,(x - h)
através de completar quadrado, e então extrair vértice (h,k), parâmetro p, foco, diretriz e eixo.

Passo 2

Reescrevendo e completando o quadrado em y:
8x = y^2 - 6y + 10 = (y - 3)^2 - 9 + 10 = (y - 3)^2 + 1.
Dividindo por 8 e isolando o quadrado:
x = \frac{(y - 3)^2}{8} + \frac{1}{8},
(y - 3)^2 = 8\Bigl(x - \tfrac{1}{8}\Bigr).

Passo 3

Comparando com (y - k)^2 = 4p\,(x - h) vemos que
h = \tfrac{1}{8},\quad k = 3,\quad 4p = 8 \;\Longrightarrow\; p = 2.
Logo o vértice é
V\bigl(h,k\bigr) = \Bigl(\tfrac{1}{8},\,3\Bigr).

Passo 4

O foco fica a distância p à direita do vértice (parábola abre para +\!x):
F\bigl(h+p,\;k\bigr) = \Bigl(\tfrac{1}{8}+2,\;3\Bigr) = \Bigl(\tfrac{17}{8},\;3\Bigr).

Passo 5

A diretriz é a reta vertical x = h - p:
x = \tfrac{1}{8} - 2 = -\tfrac{15}{8},
ou em forma geral
8x + 15 = 0.

Passo 6

O eixo da parábola é a reta que passa pelo vértice e é paralelo ao eixo do foco, isto é, horizontal em y=k:
y = 3,
ou
y - 3 = 0.

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Desenhe a reta vertical x=-\tfrac{15}{8} (diretriz).
  • Marque o vértice em \bigl(\tfrac{1}{8},3\bigr) e o foco em \bigl(\tfrac{17}{8},3\bigr).
  • Trace a reta horizontal y=3 (eixo).
  • A parábola abre para a direita, passando pelo vértice e “envolvendo” o foco, afastando-se da diretriz.

Resposta

Vértice: V\bigl(\tfrac{1}{8},3\bigr)
Foco: F\bigl(\tfrac{17}{8},3\bigr)
Diretriz: 8x + 15 = 0
Eixo: y - 3 = 0

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