Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas.
$x^{2}-4 y^{2}+6 x+24 y-31=0\left(\right.) resp.: \left.C(-3,3), A_{1}(-5,3), A_{2}(-1,3), F(-3 \pm \sqrt{5}, 3), e=\frac{\sqrt{5}}{2}\right))
$x^{2}-4 y^{2}+6 x+24 y-31=0\left(\right.) resp.: \left.C(-3,3), A_{1}(-5,3), A_{2}(-1,3), F(-3 \pm \sqrt{5}, 3), e=\frac{\sqrt{5}}{2}\right))
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Para isso vamos completar o quadrado nos termos em
e em
, reescrever na forma padrão
e então extrair
.
Passo 2
Agrupando
e
e levando o constante para o outro lado, temos
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
Substituindo,
Passo 3
Distribuindo o
e simplificando constantes,
Dividindo por
:
Dessa forma padrão vemos que o centro é
que
e
, logo
e
.
Passo 4
Como a hipérbole é do tipo “horizontal” (
na parte de
), os vértices ficam a
unidades do centro ao longo de
. Assim,
Passo 5
A distância focal satisfaz
logo
. Os focos são
A excentricidade é
Resposta
Centro
Vértices e
Focos
Excentricidade
Vértices
Focos
Excentricidade