Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas.
$x^{2}-4 y^{2}+6 x+24 y-31=0\left(\right.) resp.: \left.C(-3,3), A_{1}(-5,3), A_{2}(-1,3), F(-3 \pm \sqrt{5}, 3), e=\frac{\sqrt{5}}{2}\right))

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
x^{2}-4y^{2}+6x+24y-31=0
e pede o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Para isso vamos completar o quadrado nos termos em x e em y, reescrever na forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
e então extrair h,k,a,b.

Passo 2

Agrupando x e y e levando o constante para o outro lado, temos
(x^{2}+6x)\;-\;4(y^{2}-6y)=31.
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^{2}+6x+9-9=(x+3)^{2}-9,
y^{2}-6y+9-9=(y-3)^{2}-9.
Substituindo,
\bigl[(x+3)^{2}-9\bigr]\;-\;4\bigl[(y-3)^{2}-9\bigr]=31.

Passo 3

Distribuindo o -4 e simplificando constantes,
(x+3)^{2}-9-4(y-3)^{2}+36=31
(x+3)^{2}-4(y-3)^{2}+27=31
(x+3)^{2}-4(y-3)^{2}=4.
Dividindo por 4:
\frac{(x+3)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{1}=1.
Dessa forma padrão vemos que o centro é
C=(-3,3),
que a^{2}=4 e b^{2}=1, logo a=2 e b=1.

Passo 4

Como a hipérbole é do tipo “horizontal” ( + na parte de x), os vértices ficam a a unidades do centro ao longo de x. Assim,
A_{1}=\bigl(-3-2,\;3\bigr)=(-5,3),
A_{2}=\bigl(-3+2,\;3\bigr)=(-1,3).

Passo 5

A distância focal satisfaz
c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+1=5,
logo c=\sqrt{5}. Os focos são
F_{1}=\bigl(-3-\sqrt{5},\;3\bigr),\quad F_{2}=\bigl(-3+\sqrt{5},\;3\bigr).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}.

Resposta

Centro C=(-3,3)
Vértices A_{1}=(-5,3) e A_{2}=(-1,3)
Focos F=\bigl(-3\pm\sqrt{5},3\bigr)
Excentricidade e=\tfrac{\sqrt{5}}{2}

Exercícios relacionados