Calcular
\iint_{S} F . n d S, onde
F(x, y, z)=(x, y, z) e
S é a superfície exterior ao cilindro
x^{2}+z^{2}=a^{2} limitada pelos planos
y=-4 e
y=4 e
n normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo \,F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície cilíndrica
S:\;x^{2}+z^{2}=a^{2},\quad -4\le y\le4,
com normal exterior.
Aqui usamos o conceito de integral de superfície de um campo vetorial, parametrizando o cilindro em coordenadas cilíndricas e calculando F\cdot n\,dS.

Passo 2

Parametrizamos a parte lateral do cilindro por
\mathbf r(\theta,y)=\bigl(a\cos\theta,\,y,\,a\sin\theta\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi,\;-4\le y\le4.
As derivadas parciais são
\mathbf r_{\theta}=(-a\sin\theta,\,0,\,a\cos\theta), \quad \mathbf r_{y}=(0,\,1,\,0).
O produto vetorial dá
\mathbf r_{\theta}\times\mathbf r_{y} =(-a\cos\theta,\,0,\;-a\sin\theta),
que aponta para dentro. Para ter o vetor normal exterior unitarizado, tomamos
n =\frac{-1}{|\mathbf r_{\theta}\times\mathbf r_{y}|}\, (\mathbf r_{\theta}\times\mathbf r_{y}) =(\cos\theta,\,0,\,\sin\theta),
e o elemento de área é
dS =|\mathbf r_{\theta}\times\mathbf r_{y}|\;d\theta\,dy =a\;d\theta\,dy.

Passo 3

No ponto \mathbf r(\theta,y), o campo vale
F\bigl(\mathbf r(\theta,y)\bigr) =(a\cos\theta,\;y,\;a\sin\theta).
O produto escalar com o normal exterior é
F\cdot n =(a\cos\theta)\cos\theta+(y)\,0+(a\sin\theta)\sin\theta =a(\cos^2\theta+\sin^2\theta) =a.
Logo
F\cdot n\,dS =a\cdot\bigl(a\,d\theta\,dy\bigr) =a^{2}\,d\theta\,dy.

Passo 4

Montamos a integral dupla
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{y=-4}^{4}a^{2}\;dy\;d\theta =a^{2}\,(8)\,(2\pi) =16\pi\,a^{2}.

Resposta

16\pi\,a^{2}.

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