Calcular
\iint_{S} F . n d S, onde
F(x, y, z)=(1,1,1) e
S é a superfície exterior ao cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} limitada pelos planos
z=1 e
z=4 e
n normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,dS
de F(x,y,z)=(1,1,1) através da superfície lateral S do tronco de cone definido por
z=\sqrt{x^2+y^2},\quad 1\le z\le4,
com n sendo a normal exterior ao sólido. O conteúdo utilizado será o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo por uma superfície fechada à divergência de F no volume interno.

Passo 2

Fechamos a superfície lateral S com os discos
D_1:\{z=1,\;x^2+y^2\le1\} \quad\text{e}\quad D_2:\{z=4,\;x^2+y^2\le16\},
formando uma superfície fechada \partial V=S\cup D_1\cup D_2. Como \nabla\cdot F=0, o Teorema da Divergência dá
0=\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS =\iint_{S}F\cdot n\,dS +\iint_{D_1}F\cdot n\,dS +\iint_{D_2}F\cdot n\,dS.

Passo 3

No disco inferior D_1 (em z=1), o vetor normal exterior aponta para baixo, n=(0,0,-1). Logo
F\cdot n=(1,1,1)\cdot(0,0,-1)=-1
e a área de D_1 é \pi\cdot1^2=\pi. Assim
\iint_{D_1}F\cdot n\,dS = -1\cdot\pi = -\pi.

Passo 4

No disco superior D_2 (em z=4), o normal exterior é para cima, n=(0,0,1). Então
F\cdot n=1
e a área de D_2 é \pi\cdot4^2=16\pi. Logo
\iint_{D_2}F\cdot n\,dS = 1\cdot16\pi = 16\pi.

Passo 5

Da equação do Teorema da Divergência:
0 = \iint_{S}F\cdot n\,dS +(-\pi)+(16\pi),
portanto
\iint_{S}F\cdot n\,dS = -(-\pi+16\pi) = -15\pi.

Resposta

-15\pi

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