Determinar os vértices e a imagem das parábolas
y=-x^2+3 x

Passo 1

Estamos analisando a parábola given by y = -x^2 + 3x. O objetivo é encontrar o vértice e a imagem (intervalo de valores de y) dessa função quadrática. Vamos precisar completar o quadrado e observar o sinal do coeficiente de x^2.

Passo 2

Para completar o quadrado, primeiro fatoramos o -1 em x^2 - 3x:
y = -l(x^2 - 3xr)
Em seguida, adicionamos e subtraímos tfrac94 dentro do parêntese para formar o quadrado perfeito:
y = -l(x^2 - 3x + tfrac94 - tfrac94r) = -l((x - tfrac32)^2 - tfrac94r)

Passo 3

Agora distribuímos o sinal negativo e escrevemos na forma de vértice:
y = -(x - tfrac32)^2 + tfrac94
Dessa forma, identificamos o vértice como o ponto em que o quadrado perfeito zera, ou seja, x = tfrac32 e y = tfrac94.

Passo 4

Como o coeficiente de (x - tfrac32)^2 é -1 (negativo), a parábola abre para baixo e atinge valor máximo no vértice. Logo, a imagem é todos os y tais que y ≤ 9/4.

Resposta

Vértice: l(tfrac32,tfrac94r). Imagem: yinRmid y<=tfrac94, isto é, o intervalo ( -infty,tfrac94].

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