Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
a) vec(r)(s) = (4 cos(s/4), 4 sen(s/4)), s em [0, 8 pi]; P0(4, 0); P1(2 raiz(2), 2 raiz(2))

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar o vetor binormal de duas curvas específicas em certos pontos. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente o quadro de Frenet, que nos ajuda a entender a orientação de uma curva no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular os vetores tangente, normal e, por fim, o binormal usando derivadas da parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva dada:
Essa é uma parametrização de uma circunferência no plano XY com raio 4, onde representa o comprimento do arco.

Passo 3

Para encontrar o vetor binormal, precisamos primeiro calcular o vetor tangente . O vetor tangente é dado pela derivada da posição em relação a , normalizado:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Então,
Esse vetor já está normalizado porque sua magnitude é 1.

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal . O vetor normal é a derivada do vetor tangente em relação a , também normalizado:
Vamos calcular essa derivada:
Normalizando:

Passo 6

Finalmente, o vetor binormal é dado pelo produto vetorial de e :
Como estamos trabalhando em duas dimensões, consideramos que o vetor está no plano XY, então o vetor binormal será na direção Z.

Passo 7

Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Resposta

O vetor binormal das curvas nos pontos indicados é sempre .

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