Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
a)
a)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinar o vetor binormal de duas curvas específicas em certos pontos. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente o quadro de Frenet, que nos ajuda a entender a orientação de uma curva no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular os vetores tangente, normal e, por fim, o binormal usando derivadas da parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva dada:
Essa é uma parametrização de uma circunferência no plano XY com raio 4, onde
representa o comprimento do arco.
Passo 3
Para encontrar o vetor binormal, precisamos primeiro calcular o vetor tangente
. O vetor tangente é dado pela derivada da posição em relação a
, normalizado:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Então,
Esse vetor já está normalizado porque sua magnitude é 1.
Passo 5
Agora, encontramos o vetor normal
. O vetor normal é a derivada do vetor tangente em relação a
, também normalizado:
Vamos calcular essa derivada:
Normalizando:
Passo 6
Finalmente, o vetor binormal
é dado pelo produto vetorial de
e
:
Como estamos trabalhando em duas dimensões, consideramos que o vetor está no plano XY, então o vetor binormal será na direção Z.
Passo 7
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Resposta
O vetor binormal das curvas nos pontos indicados é sempre
.