Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e fórmulas de curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o raio de curvatura () de uma curva em um ponto específico está relacionado à curvatura () da curva naquele ponto pela fórmula:
Então, para encontrar onde o raio de curvatura é menor, precisamos encontrar onde a curvatura é maior.
Passo 3
A curvatura de uma função é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de :
E a segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:
Vamos simplificar o denominador:
Então:
Passo 6
Queremos maximizar para minimizar . Vamos encontrar o valor de que maximiza :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Primeira derivada de :
Simplificando:
Igualando a zero:
Passo 7
Agora, encontramos que o ponto onde a curvatura é máxima (e, portanto, onde o raio de curvatura é mínimo) ocorre em: