Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
a) y = ln(x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e fórmulas de curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o raio de curvatura ( ) de uma curva em um ponto específico está relacionado à curvatura ( ) da curva naquele ponto pela fórmula:
Então, para encontrar onde o raio de curvatura é menor, precisamos encontrar onde a curvatura é maior.

Passo 3

A curvatura de uma função é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de :
E a segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:
Vamos simplificar o denominador:
Então:

Passo 6

Queremos maximizar para minimizar . Vamos encontrar o valor de que maximiza :
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Primeira derivada de :
Simplificando:
Igualando a zero:

Passo 7

Agora, encontramos que o ponto onde a curvatura é máxima (e, portanto, onde o raio de curvatura é mínimo) ocorre em:
Vamos encontrar nesse ponto:

Resposta

O raio de curvatura é menor no ponto .

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