Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado:
a) vec(r)(t) = (raiz(2) * cos(t), raiz(2) * sen(t), 4) ; P0(1, 1, 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o vetor normal principal da curva no ponto dado. A curva que temos é e o ponto de interesse é . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e vetores unitários, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Olhando para as componentes de :
Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso acontece quando .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da posição em relação a para obter o vetor velocidade :
Em :

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor aceleração , que é a derivada da velocidade:
Em :

Passo 5

Para encontrar o vetor normal principal , usamos a fórmula:
Onde é o vetor tangente unitário. Primeiro, vamos normalizar :
Calculando o produto escalar :
Então, simplifica para:

Resposta

O vetor normal principal no ponto é:

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