Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o vetor normal principal da curva no ponto dado. A curva que temos é e o ponto de interesse é
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e vetores unitários, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. Olhando para as componentes de
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso acontece quando
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da posição
em relação a
para obter o vetor velocidade
:
Em
:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Em
:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal principal
, usamos a fórmula:
Onde
é o vetor tangente unitário. Primeiro, vamos normalizar
:
Calculando o produto escalar
:
Então,
simplifica para:
Resposta
O vetor normal principal no ponto
é: