Encontre um ponto na curva
que esteja mais próximo do ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva
e queremos encontrar um ponto nessa curva que esteja mais próximo do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para descobrir qual ponto satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre os pontos
e
é:
Passo 3
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer na curva
e o ponto
. Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância
, já que a raiz quadrada é uma função crescente e o ponto mínimo será o mesmo. Então, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar o mínimo de
, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
é:
Igualando a zero:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Dividindo toda a equação por 2:
Passo 7
Resolvendo a equação cúbica
, encontramos que uma das soluções reais é
.
Passo 8
Substituindo
na equação da curva
, temos:
Resposta
O ponto na curva
que está mais próximo de
é
.