Encontre um ponto na curva y = x^2 que esteja mais próximo do ponto 18,0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva e queremos encontrar um ponto nessa curva que esteja mais próximo do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para descobrir qual ponto satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre os pontos e é:

Passo 3

No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer na curva e o ponto . Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância , já que a raiz quadrada é uma função crescente e o ponto mínimo será o mesmo. Então, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar o mínimo de , vamos derivar essa expressão em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de é:
Igualando a zero:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Dividindo toda a equação por 2:

Passo 7

Resolvendo a equação cúbica , encontramos que uma das soluções reais é .

Passo 8

Substituindo na equação da curva , temos:

Resposta

O ponto na curva que está mais próximo de é .

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