Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
;
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o vetor gradiente das funções dadas em vários pontos. O conteúdo aqui é derivada parcial e gradiente em funções de várias variáveis. Vamos precisar lembrar a definição de gradiente e calcular $\partial f/\partial x_i$ em cada caso, avaliando depois no ponto indicado.
Passo 2
A definição de gradiente para uma função de duas variáveis $(x,y)$ é $\nabla f = (f_x, f_y)$, onde $f_x = \partial f/\partial x$ e $f_y = \partial f/\partial y$. Para funções de três ou quatro variáveis é análogo.
Passo 3
Para o item (a),
com \z = x\sqrt{x2+y2}\): aplicamos regra do produto e cadeia:
$z_x = \\sqrt{x2+y2} + x\cdot\frac{x}{\sqrt{x2+y2}},\quad z_y = x\cdot\frac{y}{\sqrt{x2+y2}}.$
Avalia em $P(1,1)$, onde $r = \\sqrt{2}$:
$z_x(1,1) = \\sqrt{2} + \\frac{1}{\sqrt{2}} = \\frac{3\sqrt{2}}{2},\quad z_y(1,1)= \\frac{1}{\sqrt{2}} = \\frac{\sqrt{2}}{2}.$
$z_x = \\sqrt{x2+y2} + x\cdot\frac{x}{\sqrt{x2+y2}},\quad z_y = x\cdot\frac{y}{\sqrt{x2+y2}}.$
Avalia em $P(1,1)$, onde $r = \\sqrt{2}$:
$z_x(1,1) = \\sqrt{2} + \\frac{1}{\sqrt{2}} = \\frac{3\sqrt{2}}{2},\quad z_y(1,1)= \\frac{1}{\sqrt{2}} = \\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Passo 4
Para o item (b), $z = x^2 y + 3xy + y^2$: derivamos:
$z_x = 2xy + 3y,\quad z_y = x^2 + 3x + 2y.$
Em $P(0,3)$:
$z_x(0,3)= 2\cdot0\cdot3 +3\cdot3 = 9,\quad z_y(0,3)= 0 + 0 +2\cdot3 =6.$
$z_x = 2xy + 3y,\quad z_y = x^2 + 3x + 2y.$
Em $P(0,3)$:
$z_x(0,3)= 2\cdot0\cdot3 +3\cdot3 = 9,\quad z_y(0,3)= 0 + 0 +2\cdot3 =6.$
Passo 5
Para o item ©, $z= \sin(3x+y)$:
$z_x = 3\cos(3x+y),\quad z_y = \cos(3x+y).$
Em $P(0,\pi/2)$, o argumento $3\cdot0+\pi/2 = \\pi/2$ tem $\cos(\pi/2)=0$, logo
$z_x =0,\quad z_y =0.$
$z_x = 3\cos(3x+y),\quad z_y = \cos(3x+y).$
Em $P(0,\pi/2)$, o argumento $3\cdot0+\pi/2 = \\pi/2$ tem $\cos(\pi/2)=0$, logo
$z_x =0,\quad z_y =0.$
Passo 6
Para o item (d), $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} = (4 - x^2 - y2){1/2}$:
$z_x = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}},\quad z_y = -\frac{y}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}}.$
Em $P(0,0)$ o denominador vale 2, então ambos são zero.
$z_x = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}},\quad z_y = -\frac{y}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}}.$
Em $P(0,0)$ o denominador vale 2, então ambos são zero.
Passo 7
Para o item (e), $z = x^2 + y^2 -3$:
$z_x = 2x,\quad z_y = 2y.$
Em $P(0,0)$ ambos valem zero.
$z_x = 2x,\quad z_y = 2y.$
Em $P(0,0)$ ambos valem zero.
Passo 8
Para o item (f), $z = xy - \sin(x+y)$:
$z_x = y - \cos(x+y),\quad z_y = x - \cos(x+y).$
Em $P(\pi/2,0)$, temos $x+y=\pi/2$, $\cos(\pi/2)=0$, logo
$z_x=0,\quad z_y=\pi/2.$
$z_x = y - \cos(x+y),\quad z_y = x - \cos(x+y).$
Em $P(\pi/2,0)$, temos $x+y=\pi/2$, $\cos(\pi/2)=0$, logo
$z_x=0,\quad z_y=\pi/2.$
Passo 9
Para o item (g), $f(u,v,w)=u2+v2-w^2+uvw$:
$f_u = 2u + vw,\quad f_v = 2v + uw,\quad f_w = -2w + uv.$
Em $P(0,1,0)$ dá
$f_u=0,\quad f_v=2,\quad f_w=0.$
$f_u = 2u + vw,\quad f_v = 2v + uw,\quad f_w = -2w + uv.$
Em $P(0,1,0)$ dá
$f_u=0,\quad f_v=2,\quad f_w=0.$
Passo 10
Para o item (h), definimos $r = x2+y2$ e $z = r\sin r$. Então
$z_x = 2x\sin r + r\cos r\cdot2x =2x(\sin r + r\cos r),\quad z_y=2y(\sin r + r\cos r).$
Em $P(0,0)$ temos $r=0$ e $\sin0+0\cdot\cos0=0$, logo ambos são zero.
$z_x = 2x\sin r + r\cos r\cdot2x =2x(\sin r + r\cos r),\quad z_y=2y(\sin r + r\cos r).$
Em $P(0,0)$ temos $r=0$ e $\sin0+0\cdot\cos0=0$, logo ambos são zero.
Passo 11
Para o item (i), $f(x,t)=(x+2t)\ln(x+2t)$. Seja $u=x+2t$, então $f = u\ln u$ e
$f_x = (\ln u +1)\cdot1,\quad f_t = (\ln u +1)\cdot2.$
Em $P(e,1)$, $u = e+2$, então $f_x = \ln(e+2) +1,\quad f_t =2(\ln(e+2) +1).$
$f_x = (\ln u +1)\cdot1,\quad f_t = (\ln u +1)\cdot2.$
Em $P(e,1)$, $u = e+2$, então $f_x = \ln(e+2) +1,\quad f_t =2(\ln(e+2) +1).$
Passo 12
Para o item (j), $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1x_2 - x_1x_3 + x_4$:
$f_{x_1} = x_2 - x_3,\quad f_{x_2} = x_1,\quad f_{x_3} = -x_1,\quad f_{x_4} =1.$
Em $P(2,2,1,3)$ obtemos
$f_{x_1}=1,\quad f_{x_2}=2,\quad f_{x_3}=-2,\quad f_{x_4}=1.$
$f_{x_1} = x_2 - x_3,\quad f_{x_2} = x_1,\quad f_{x_3} = -x_1,\quad f_{x_4} =1.$
Em $P(2,2,1,3)$ obtemos
$f_{x_1}=1,\quad f_{x_2}=2,\quad f_{x_3}=-2,\quad f_{x_4}=1.$
Resposta
a) (3\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2) ; b) (9, 6) ; c) (0,0) ; d) (0,0) ; e) (0,0) ; f) (0, \pi/2) ; g) (0,2,0) ; h) (0,0) ; i) (\ln(e+2)+1, \;2(\ln(e+2)+1)) ; j) (1,2,-2,1)