Calcule as seguintes integrais usando a técnica de substituição:
integral y(3 y-4)^3 d y

Passo 1

A integral que temos é integral y(3y-4)^3 ,dy. O conteúdo aqui é técnica de substituição (mudança de variável) e a regra de potência para integrais. Vamos usar uma substituição que torne o denominador mais simples.

Passo 2

Escolhemos u = 3y - 4. Daí du = 3,dy, ou seja, dy = du3. Precisamos também escrever y em função de u: y = u+43.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral y(3y-4)^3 ,dy = integral (u+4)/3u^3 cdot du3 = 19 integral u+4u^3 ,du = 19 integral l(u^-2 + 4u^-3r) ,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência:
integral u^-2 ,du = u^-1-1 = -u^-1, integral 4u^-3 ,du = 4 cdot u^-2-2 = -2u^-2

Passo 5

Então a integral em u é
19l(-u^-1 - 2u^-2r) + C

Passo 6

Por fim voltamos a y usando u = 3y - 4:
-19(3y-4) - 29(3y-4)^2 + C

Resposta

-dfrac19(3y-4) - dfrac29(3y-4)^2 + C

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