Encontre a expressão que define a função
, cujo gráfico contém o ponto (
) e cuja derivada é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a expressão da função $ f $ cujo gráfico passa pelo ponto $ (0, \frac{8}{3}) $ e cuja derivada é $ f^{\prime}(x) = x \sqrt{1 - x^{2}} $. Esse exercício envolve cálculo, mais especificamente integração, já que queremos encontrar a função original a partir da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar a função $ f(x) $, precisamos integrar a sua derivada $ f^{\prime}(x) $. A integral de $ f^{\prime}(x) $ nos dará $ f(x) $ mais uma constante de integração $ C $. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos integrar $ f^{\prime}(x) = x \sqrt{1 - x^{2}} $. Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples. Vamos optar por uma substituição simples.
Vamos deixar $ u = 1 - x^{2} $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Substituindo $ u $ e $ dx $ na integral, temos:
Os $ x $ cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, vamos integrar $ \sqrt{u} $:
Passo 6
Lembrando que $ u = 1 - x^{2} $, substituímos de volta:
Então, a expressão para $ f(x) $ é:
Passo 7
Agora, vamos usar o ponto fornecido $ (0, \frac{8}{3}) $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ f(x) = \frac{8}{3} $:
Resposta
Portanto, a função $ f $ é dada por: