Encontre a expressão que define a função f, cujo gráfico contém o ponto ( 0, 83 ) e cuja derivada é f^prime(x)=x raiz1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a expressão da função $ f $ cujo gráfico passa pelo ponto $ (0, \frac{8}{3}) $ e cuja derivada é $ f^{\prime}(x) = x \sqrt{1 - x^{2}} $. Esse exercício envolve cálculo, mais especificamente integração, já que queremos encontrar a função original a partir da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar a função $ f(x) $, precisamos integrar a sua derivada $ f^{\prime}(x) $. A integral de $ f^{\prime}(x) $ nos dará $ f(x) $ mais uma constante de integração $ C $. Ou seja:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos integrar $ f^{\prime}(x) = x \sqrt{1 - x^{2}} $. Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples. Vamos optar por uma substituição simples.
Vamos deixar $ u = 1 - x^{2} $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
f^prime(x) = x raiz1 - x^2

Passo 4

Substituindo $ u $ e $ dx $ na integral, temos:
u
Os $ x $ cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, vamos integrar $ \sqrt{u} $:
raizu

Passo 6

Lembrando que $ u = 1 - x^{2} $, substituímos de volta:
u = 1 - x^2
Então, a expressão para $ f(x) $ é:
-13 (1 - x^2)^32 + C

Passo 7

Agora, vamos usar o ponto fornecido $ (0, \frac{8}{3}) $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ f(x) = \frac{8}{3} $:
(0, 83)

Resposta

Portanto, a função $ f $ é dada por:
f

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