Determinar o vetor gradiente das seguintes funções:
f(x, y, z)=x^2 y^2 z^2+sen x

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x,y,z)=x^2y^2z^2+sin x
Vamos usar derivadas parciais, aplicando a regra do produto para o termo x^2y^2z^2 e a derivada de sin x.

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Tratando y e z como constantes,
a derivada de x^2y^2z^2 em relação a x é 2x,y^2z^2 e a de sin x é cos x. Logo,
partial fpartial x=2x,y^2z^2+cos x

Passo 3

Calcular partial fpartial y. Tratando x e z como constantes,
a derivada de x^2y^2z^2 em relação a y é x^2cdot2ycdot z^2=2x^2y,z^2 e sin x dá zero. Logo,
partial fpartial y=2x^2y,z^2

Passo 4

Calcular partial fpartial z. Tratando x e y como constantes,
a derivada de x^2y^2z^2 em relação a z é x^2y^2cdot2z=2x^2y^2z e sin x dá zero. Logo,
partial fpartial z=2x^2y^2z

Resposta

nabla f(x,y,z)=l(2x,y^2z^2+cos x,;2x^2y,z^2,;2x^2y^2zr)

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