e pede em que região de R^2 ela é diferenciável. Vamos analisar separadamente o interior do disco x^2+y^2<1, o complemento aberto x^2+y^2>1 e a fronteira x^2+y^2=1.
Passo 2
Se x^2+y^2<1, então
f(x,y)=raizx^2+y^2+1
Como x^2+y^2+1>0, a função (x,y)mapsto x^2+y^2+1 é polinomial (logo C^infty) e a raiz quadrada é C^infty em (0,infty). A composição de funções C^infty é C^infty. Portanto f é diferenciável em todo ponto com x^2+y^2<1.
Passo 3
Se x^2+y^2>1, então
f(x,y)=0
é constante nessa região aberta. Toda função constante é C^infty, logo f é diferenciável em cada ponto com x^2+y^2>1.
Passo 4
Em qualquer ponto da fronteira x^2+y^2=1 temos lim(x,y)to (x0,y0),,x^2+y^2<1f(x,y)=raiz2neq0=f(x0,y0).
Logo f não é nem contínua nem diferenciável em pontos que satisfaçam x^2+y^2=1.