Identifique a região de R^2 onde as funções dadas sizdiferenciáveis:
f(x, y)=clraizx^2+y^2+1, & se x^2+y^2<1 0, & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= raizx^2+y^2+1,&se x^2+y^2<1, 0,&se x^2+y^2>=1,
e pede em que região de R^2 ela é diferenciável. Vamos analisar separadamente o interior do disco x^2+y^2<1, o complemento aberto x^2+y^2>1 e a fronteira x^2+y^2=1.

Passo 2

Se x^2+y^2<1, então
f(x,y)=raizx^2+y^2+1
Como x^2+y^2+1>0, a função (x,y)mapsto x^2+y^2+1 é polinomial (logo C^infty) e a raiz quadrada é C^infty em (0,infty). A composição de funções C^infty é C^infty. Portanto f é diferenciável em todo ponto com x^2+y^2<1.

Passo 3

Se x^2+y^2>1, então
f(x,y)=0
é constante nessa região aberta. Toda função constante é C^infty, logo f é diferenciável em cada ponto com x^2+y^2>1.

Passo 4

Em qualquer ponto da fronteira x^2+y^2=1 temos
lim(x,y)to (x0,y0),,x^2+y^2<1f(x,y)=raiz2neq0=f(x0,y0).
Logo f não é nem contínua nem diferenciável em pontos que satisfaçam x^2+y^2=1.

Resposta

A função f é diferenciável exatamente em
(x,y)inR^2mid x^2+y^2<1cup(x,y)inR^2mid x^2+y^2>1,
ou seja, em R^2setminus(x,y)mid x^2+y^2=1.

Exercícios relacionados