Questão 2 ( 2,5 pontos) Derive a função.
y=(x^2+1)^4(2 x+1)^3(3 x-1)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=l(x^2+1r)^4(2x+1)^3,(3x-1)^5
O conteúdo aqui é diferenciação de função definida por produto e quociente de potências. Para simplificar, vamos usar diferenciação logarítmica: tomar logaritmo de ambos os lados e depois derivar.

Passo 2

Começamos definindo
ln y = lnl((x^2+1)^4r)-lnl((2x+1)^3r)-lnl((3x-1)^5r)
Usando propriedades de logaritmo, isto é
ln y = 4ln(x^2+1)-3ln(2x+1)-5ln(3x-1)
Agora derivamos em relação a x:
y'y =4cdot2xx^2+1 -3cdot22x+1 -5cdot33x-1
Logo
y'y =8xx^2+1 -62x+1 -153x-1

Passo 3

Multiplicando ambos lados por y, obtemos
y' =(x^2+1)^4(2x+1)^3(3x-1)^5 l(8xx^2+1-62x+1-153x-1r)
Para simplificar, colocamos tudo sobre um denominador comum: note que
8xx^2+1=8x,(2x+1),(3x-1)(x^2+1),(2x+1),(3x-1), 62x+1=6,(x^2+1),(3x-1)(x^2+1),(2x+1),(3x-1),
153x-1=15,(x^2+1),(2x+1)(x^2+1),(2x+1),(3x-1)
Então extraímos fatores para ter um único denominador (x^2+1),(2x+1),(3x-1).

Passo 4

Colocando em comum e reunindo com o fator exterior (x^2+1)^4(2x+1)^3(3x-1)^5, vemos que o denominador final será (2x+1)^4(3x-1)^6 e o numerador se reduz a
8x(2x+1)(3x-1) -6(x^2+1)(3x-1) -15(x^2+1)(2x+1)
Fazendo as multiplicações e somando termos semelhantes, o numerador torna-se
-,l(x^2+56x+9r)
e podemos extrair um sinal negativo. Além disso, reduzimos uma potência de (x^2+1), sobrando (x^2+1)^3.

Resposta

y'=-(x^2+1)^3l(x^2+56x+9r)(2x+1)^4(3x-1)^6

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