Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^nn!

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+13^nn!
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos aplicar o teste da razão na série de termos absolutos
sumn=1^infty|3^nn!| =sumn=1^infty3^nn!,
pois se esta última convergir, a série original converge absolutamente.

Passo 2

Seja
an=3^nn!
Calculamos
limntoinftyan+1an =limntoinfty3^n+1(n+1)!3^nn! =limntoinfty3^n+13^ncdotn!(n+1)! =limntoinfty3n+1 =0
Como esse limite é menor que 1, pelo teste da razão a série sum an converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty(-1)^n+13^nn!
é absolutamente convergente.

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