Determinar o vetor gradiente das seguintes funçōes:
w=2 x^2 y^3 z

Passo 1

O enunciado nos dá a função de três variáveis
w = 2 x^2 y^3 z
e pede o vetor gradiente nabla w. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de w em relação a x, y e z.

Passo 2

Calculando a derivada parcial de w em relação a x, tratamos y e z como constantes.
partial wpartial x = partialpartial xl(2 x^2 y^3 zr) = 2,y^3z;partialpartial x(x^2) = 2,y^3zcdot 2x = 4x,y^3z

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, x e z são constantes.
partial wpartial y = partialpartial yl(2 x^2 y^3 zr) = 2,x^2z;partialpartial y(y^3) = 2,x^2zcdot 3y^2 = 6x^2y^2z

Passo 4

Para a derivada parcial em relação a z, x e y são constantes.
partial wpartial z = partialpartial zl(2 x^2 y^3 zr) = 2,x^2y^3;partialpartial z(z) = 2,x^2y^3cdot 1 = 2x^2y^3

Passo 5

Agrupando as derivadas parciais, obtemos o vetor gradiente
nabla w = l(partial wpartial x,partial wpartial y,partial wpartial zr) = l(4x,y^3z,;6x^2y^2z,;2x^2y^3r)

Resposta

nabla w = l(4x,y^3z,;6x^2y^2z,;2x^2y^3r)

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