Verifique a convergência das seguintes séries
sum 2^n+1n^n

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty 2^n+1n^n
O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, e vamos empregar o teste da raiz n-ésima (teste de Cauchy).

Passo 2

O teste da raiz n-ésima diz que, se definirmos an = tfrac2^n+1n^n e
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|,
então, se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).

Passo 3

Calculamos
raiz[n]|an| = raiz[n]2^n+1n^n = 2^(n+1)/nn = 2cdot 2^1/nn
Como limntoinfty2^1/n=1, temos
L = limntoinfty2cdot 2^1/nn = limntoinfty2n = 0 < 1
Portanto, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série
sumn=1^infty2^n+1n^n
converge absolutamente (e, portanto, converge).

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