Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u=(2,-1,3) tal que lang<=v, urang<==-42.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor v que seja paralelo ao vetor dado u = (2, -1, 3). Além disso, o produto interno (ou escalar) entre v e u deve ser igual a -42. Para isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e produto interno.

Passo 2

Primeiro, lembremos que se dois vetores são paralelos, um é múltiplo escalar do outro. Isso significa que podemos escrever v como v = lambda u, onde lambda é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição do problema: o produto interno entre v e u deve ser -42. O produto interno de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
lang<= v, u rang<= = lambda u cdot u = -42

Passo 4

Vamos calcular o produto interno u cdot u:
u cdot u = 2 times 2 + (-1) times (-1) + 3 times 3 = 4 + 1 + 9 = 14
Então, temos:
lambda times 14 = -42

Passo 5

Agora, resolvendo para lambda:
lambda = -4214 = -3

Resposta

Portanto, o vetor v é:
v = -3 times (2, -1, 3) = (-6, 3, -9)

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