1. Determinar o vetor resultante do sistema de componentes seguintes: (valor: 1,0 ponto)
\begin{aligned} & \vec{v}_{1}=3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath} \\\ & \vec{v}_{2}=-\hat{\imath}+\hat{\jmath} \\\ & \vec{v}_{3}=5 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath} \\\ & \vec{v}_{4}=-2 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o vetor resultante do sistema formado pelas quatro componentes dadas.
Informações fornecidas (cada vetor foi copiado do enunciado):
\vec{v}_{1}=3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}
\vec{v}_{2}=-\hat{\imath}+\hat{\jmath}
\vec{v}_{3}=5 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}
\vec{v}_{4}=-2 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}
As perguntas do enunciado: encontrar o vetor resultante do sistema (ou seja, a soma vetorial de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{v}_{4}).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): para somar vetores no plano que estão dados por componentes em \hat{\imath} e \hat{\jmath} (unidades de base nos eixos x e y), basta somar separadamente as componentes x e y. Escrevendo genericamente:
\vec{R}=\sum_{i=1}^{4}\vec{v}_{i} \quad\Rightarrow\quad R_x=\sum_{i=1}^{4} v_{i,x},\quad R_y=\sum_{i=1}^{4} v_{i,y}.
Aqui R_x é a componente x (associada a \hat{\imath}) do vetor resultante \vec{R} e R_y é a componente y (associada a \hat{\jmath}). Isso funciona porque a adição vetorial é linear e as direções \hat{\imath}, \hat{\jmath} são ortogonais e independentes.

Passo 3

Extrair as componentes x e y de cada vetor (pegando os valores do enunciado):
v_{1,x}=3,\quad v_{1,y}=2
v_{2,x}=-1,\quad v_{2,y}=1
v_{3,x}=5,\quad v_{3,y}=-3
v_{4,x}=-2,\quad v_{4,y}=-3

Passo 4

Somar as componentes x uma a uma, mostrando cada passo aritmético:
R_x = v_{1,x}+v_{2,x}+v_{3,x}+v_{4,x}
R_x = 3 + (-1) + 5 + (-2)
3 + (-1)=2
2 + 5 = 7
7 + (-2)=5
Logo:
R_x = 5.

Passo 5

Somar as componentes y uma a uma, mostrando cada passo aritmético:
R_y = v_{1,y}+v_{2,y}+v_{3,y}+v_{4,y}
R_y = 2 + 1 + (-3) + (-3)
2 + 1 = 3
3 + (-3)=0
0 + (-3) = -3
Logo:
R_y = -3.

Passo 6

Interpretação didática do resultado das componentes: ter R_x=5 significa que, somando todas as projeções na direção x, o total é 5 unidades nessa direção positiva; ter R_y=-3 significa que, somando todas as projeções na direção y, o total é -3 unidades (ou seja, 3 unidades no sentido negativo de y). A forma vetorial final será apresentada na seção de resposta.

Resposta

\;5 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath}

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