Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores U+2V e V-U sendo U=(-3,2,0) e V=(0,-1,-2)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores $ U + 2V $ e $ V - U $. Para isso, vamos usar o conteúdo de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial, que ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores $ U + 2V $ e $ V - U $. Dado que:
U + 2V
V - U
Vamos calcular $ 2V $:
U = (-3, , 2, , 0)
Agora, somamos $ U + 2V $:
V = (0, , -1, , -2)
E calculamos $ V - U $:
2V

Passo 3

Agora que temos os dois vetores aos quais nosso vetor procurado deve ser ortogonal, ou seja, $ A = (-3, , 0, , -4) $ e $ B = (3, , -3, , -2) $, vamos usar o produto vetorial para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.
O produto vetorial de dois vetores $ A $ e $ B $ é dado por:
A = (-3, , 0, , -4)
Isso resulta em um novo vetor perpendicular a $ A $ e $ B $.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial $ A \times B $:
A times B
Calculando o determinante:
A times B = i & j & k -3 & 0 & -4 3 & -3 & -2
A times B = i(0 times (-2) - (-4) times (-3)) - j((-3) times (-2) - (-4) times 3) + k((-3) times (-3) - 0 times 3)
A times B = i(0 - 12) - j(6 - (-12)) + k(9 - 0)
Portanto, o vetor resultante é:
A times B = -12i - 18j + 9k

Passo 5

Podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por 3:
A times B3 = ( -123, , -183, , 93 ) = (-4, , -6, , 3)
Esse vetor simplificado também é ortogonal a $ A $ e $ B $.

Resposta

Um vetor ortogonal aos vetores $ U + 2V $ e $ V - U $ é $ \mathbf{W} = (-4, , -6, , 3) $.

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