Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores U+2V e V-U sendo U=(-3,2,0) e V=(0,-1,-2)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores $ U + 2V $ e $ V - U $. Para isso, vamos usar o conteúdo de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial, que ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores $ U + 2V $ e $ V - U $. Dado que:
Vamos calcular $ 2V $:
Agora, somamos $ U + 2V $:
E calculamos $ V - U $:
Passo 3
Agora que temos os dois vetores aos quais nosso vetor procurado deve ser ortogonal, ou seja, $ A = (-3, , 0, , -4) $ e $ B = (3, , -3, , -2) $, vamos usar o produto vetorial para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos.
O produto vetorial de dois vetores $ A $ e $ B $ é dado por:
Isso resulta em um novo vetor perpendicular a $ A $ e $ B $.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial $ A \times B $:
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor resultante é:
Passo 5
Podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por 3:
Esse vetor simplificado também é ortogonal a $ A $ e $ B $.
Resposta
Um vetor ortogonal aos vetores $ U + 2V $ e $ V - U $ é $ \mathbf{W} = (-4, , -6, , 3) $.