Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações:
b) x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2} e \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\\ 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6 \\\ x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\\\ 2x_{1}-8x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6,\\\ x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+x_{4}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4}=-1 \end{cases}
pelo método de Gauss–Seidel, com chute inicial \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0), tolerância \epsilon=10^{-2} e no máximo 10 iterações. Vamos usar o fato de que, em cada iteração k, calculamos cada componente x_i^{(k)} usando os valores mais recentes disponíveis.

Passo 2

Isolando cada variável na sua equação, as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel ficam:
x_{1}^{(k)}=\frac{1}{4}\bigl(7 - x_{2}^{(k-1)} - x_{3}^{(k-1)} - x_{4}^{(k-1)}\bigr),
x_{2}^{(k)}=\frac{-6 -2\,x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k-1)} + x_{4}^{(k-1)}}{-8},
x_{3}^{(k)}=\frac{-1 - x_{1}^{(k)} -2\,x_{2}^{(k)} + x_{4}^{(k-1)}}{-5},
x_{4}^{(k)}=\frac{-1 - x_{1}^{(k)} - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{-4}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas acima, obtemos as seguintes iterações (arredondadas a 5 casas decimais):
\begin{aligned} \mathbf{x}^{(1)}&=(1.75000,\;1.18750,\;1.02500,\;1.24062),\\\ \mathbf{x}^{(2)}&=(0.88672,\;0.94473,\;0.50712,\;0.83464),\\\ \mathbf{x}^{(3)}&=(1.17838,\;1.00365,\;0.67021,\;0.96306),\\\ \mathbf{x}^{(4)}&=(1.09077,\;0.98609,\;0.61998,\;0.92421),\\\ \mathbf{x}^{(5)}&=(1.11743,\;0.99133,\;0.63518,\;0.93623),\\\ \mathbf{x}^{(6)}&=(1.10932,\;0.98970,\;0.63050,\;0.93238). \end{aligned}

Passo 4

Para verificar a convergência com \epsilon=10^{-2}, computamos a norma infinito do passo
\|\mathbf{x}^{(6)}-\mathbf{x}^{(5)}\|_\infty =\max\bigl\{|1.10932-1.11743|,\dots,|0.93238-0.93623|\bigr\} =0.00811<0.01.
Como a diferença máxima entre iterações é menor que \epsilon, paramos no k=6.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}\approx(1.10932,\;0.98970,\;0.63050,\;0.93238).

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