Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Gauss-Seidel com o máximo de 10 iterações:
a) x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2} e \left\{\begin{array}{ccccccc}x_{1} & - & 0.25 x_{2} & - & 0.25 x_{3} & & \\\\ -0.25 x_{1} & + & x_{2} & & & - & 0.25 x_{4} & = & 0 \\\\ -0.25 x_{1} & & & + & x_{3} & & & = & 0 \\\ & & - & 0.25 x_{2} & & + & x_{4} & = & 0.25\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}-0.25\,x_{2}-0.25\,x_{3}=0,\\\\ -0.25\,x_{1}+x_{2}-0.25\,x_{4}=0,\\\\ -0.25\,x_{1}+x_{3}=0,\\\\ -0.25\,x_{2}+x_{4}=0.25 \end{cases}
usando o método de Gauss–Seidel com chute inicial \,x^{(0)}=(0,0,0,0), tolerância \epsilon<10^{-2} e no máximo 10 iterações. O conteúdo é iteração de Gauss–Seidel para sistemas linha a linha.

Passo 2

Isolamos cada incógnita para obter o esquema iterativo:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=0.25\,x_{2}^{(k)}+0.25\,x_{3}^{(k)},\\\ x_{2}^{(k+1)}&=0.25\,x_{1}^{(k+1)}+0.25\,x_{4}^{(k)},\\\ x_{3}^{(k+1)}&=0.25\,x_{1}^{(k+1)},\\\ x_{4}^{(k+1)}&=0.25+0.25\,x_{2}^{(k+1)}. \end{aligned}
Em cada iteração k, calculamos x_{1}^{(k+1)} usando os valores mais recentes, depois x_{2}^{(k+1)}, x_{3}^{(k+1)} e x_{4}^{(k+1)}.

Passo 3

O critério de parada é
\max_{i=1,\dots,4}\bigl|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\bigr|<10^{-2}.
Calculamos as iterações até satisfazer este critério ou até 10 iterações.

Passo 4

Vamos tabelar as primeiras iterações até convergir:
k=0:\quad x^{(0)}=(0,0,0,0)
k=1:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=0,\\\ x_{2}^{(1)}&=0,\\\ x_{3}^{(1)}&=0,\\\ x_{4}^{(1)}&=0.25 \end{aligned}
k=2:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=0.25\cdot0+0.25\cdot0=0,\\\ x_{2}^{(2)}&=0.25\cdot0+0.25\cdot0.25=0.0625,\\\ x_{3}^{(2)}&=0.25\cdot0=0,\\\ x_{4}^{(2)}&=0.25+0.25\cdot0.0625=0.265625 \end{aligned}
k=3:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=0.25\cdot0.0625+0.25\cdot0=0.015625,\\\ x_{2}^{(3)}&=0.25\cdot0.015625+0.25\cdot0.265625=0.0703125,\\\ x_{3}^{(3)}&=0.25\cdot0.015625=0.00390625,\\\ x_{4}^{(3)}&=0.25+0.25\cdot0.0703125=0.267578125 \end{aligned}
k=4:
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=0.25\cdot0.0703125+0.25\cdot0.00390625=0.0185546875,\\\ x_{2}^{(4)}&=0.25\cdot0.0185546875+0.25\cdot0.267578125=0.071533203125,\\\ x_{3}^{(4)}&=0.25\cdot0.0185546875=0.004638671875,\\\ x_{4}^{(4)}&=0.25+0.25\cdot0.071533203125=0.26788330078125. \end{aligned}
A diferença máxima \max_i|x_i^{(4)}-x_i^{(3)}|=0.00293<10^{-2}, então paramos.

Resposta

x\approx\bigl(0.0185547,\;0.0715332,\;0.00463867,\;0.2678833\bigr).

Exercícios relacionados