Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi com o máximo de 10 iterações:
b) x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2} e \left{ \begin{array}{l}4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\ 2 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6 \\ x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+x_{4}=-1 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=-1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é resolver o sistema
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\\\ 2x_{1}-8x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6,\\\ x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+x_{4}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4}=-1 \end{cases}
pelo método de Jacobi, com chute inicial x^{(0)}=(0,0,0,0), tolerância \epsilon<10^{-2} e no máximo 10 iterações.

Passo 2

Isolamos cada incógnita em cada equação para obter a forma iterativa de Jacobi e definimos o critério de parada
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(7 - x_2^{(k)} - x_3^{(k)} - x_4^{(k)}\bigr),\\\ x_2^{(k+1)}&=\tfrac{1}{8}\bigl(6 +2\,x_1^{(k)} + x_3^{(k)} - x_4^{(k)}\bigr),\\\ x_3^{(k+1)}&=\tfrac{1}{5}\bigl(1 + x_1^{(k)} +2\,x_2^{(k)} + x_4^{(k)}\bigr),\\\ x_4^{(k+1)}&=\tfrac{1}{4}\bigl(1 + x_1^{(k)} + x_2^{(k)} + x_3^{(k)}\bigr), \end{aligned}
e paramos quando
\bigl\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\bigr\|_{\infty}<10^{-2}.

Passo 3

Iteração k=1:
x^{(1)}=\bigl(1,75,\;0,75,\;0,20,\;0,25\bigr),\quad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=1,75>10^{-2}.

Passo 4

Iterações k=2,3:
x^{(2)}\approx\bigl(1,45,\;1,1813,\;0,90,\;0,925\bigr),\quad \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty\approx0,70>10^{-2},
x^{(3)}\approx\bigl(0,9984,\;1,1094,\;1,1475,\;1,1328\bigr),\quad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty\approx0,45>10^{-2}.

Passo 5

Iterações k=4,5:
x^{(4)}\approx\bigl(0,9026,\;1,0014,\;1,0700,\;1,0638\bigr),\quad \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty\approx0,108>10^{-2},
x^{(5)}\approx\bigl(0,9662,\;0,9764,\;0,9939,\;0,9935\bigr),\quad \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty\approx0,076>10^{-2}.

Passo 6

Iterações k=6,7:
x^{(6)}\approx\bigl(1,0091,\;0,9916,\;0,9825,\;0,9841\bigr),\quad \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty\approx0,043>10^{-2},
x^{(7)}\approx\bigl(1,0104,\;1,0021,\;0,9953,\;0,9958\bigr),\quad \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_\infty\approx0,013>10^{-2}.

Passo 7

Iteração k=8:
x^{(8)}\approx\bigl(1,0017,\;1,0025,\;1,0021,\;1,0019\bigr),\quad \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_\infty\approx0,0087<10^{-2},
logo convergiu em 8 iterações.

Resposta

x\approx(1,0017,\;1,0025,\;1,0021,\;1,0019).

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