Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do método de Jacobi com o máximo de 10 iterações:
a) x^{(0)}=(0,0,0,0), \epsilon<10^{-2} e \left{ \begin{array}{ccccccc}x_{1} & - & 0.25 x_{2} & - & 0.25 x_{3} & & \\ -0.25 x_{1} & + & x_{2} & & & - & 0.25 x_{4} \\ -0.25 x_{1} & & & + & x_{3} & & \\ & - & 0.25 x_{2} & & & + & x_{4}\end{array}=0.5 \ =0.25 \ =0.5\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Jacobi, com até 10 iterações e critério de parada \epsilon=10^{-2}\), o sistema \[\begin{cases} x_{1}-0.25\,x_{2}-0.25\,x_{3}=0.5,\\\\ -0.25\,x_{1}+x_{2}-0.25\,x_{4}=0.25,\\\\ -0.25\,x_{1}+x_{3}=0.5,\\\\ -0.25\,x_{2}+x_{4}=0.25, \end{cases}
usando (x^{(0)}=(0,0,0,0)]. O método de Jacobi itera isolando em cada equação o termo da incógnita na diagonal e usando sempre os valores da iteração anterior.

Passo 2

Isolando cada variável, obtemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
x_{1}^{(k+1)}=0.5+0.25\,x_{2}^{(k)}+0.25\,x_{3}^{(k)},\quad x_{2}^{(k+1)}=0.25+0.25\,x_{1}^{(k)}+0.25\,x_{4}^{(k)},
x_{3}^{(k+1)}=0.5+0.25\,x_{1}^{(k)},\quad x_{4}^{(k+1)}=0.25+0.25\,x_{2}^{(k)}.

Passo 3

O critério de parada é
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty} =\max_{i=1,\dots,4}\bigl|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}\bigr| <10^{-2},
ou chegar a 10 iterações.

Passo 4

Calculando até satisfazer o critério:
x^{(1)}=(0.5000,\;0.2500,\;0.5000,\;0.2500),
x^{(2)}=(0.6875,\;0.4375,\;0.6250,\;0.3125),
x^{(3)}=(0.7656,\;0.5000,\;0.6719,\;0.3594),
x^{(4)}=(0.7930,\;0.5313,\;0.6914,\;0.3750),
x^{(5)}=(0.8057,\;0.5420,\;0.6982,\;0.3828),
x^{(6)}=(0.8101,\;0.5471,\;0.7014,\;0.3855).
A partir de k=5 para k=6 temos
\|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty} =\max\{0.8101-0.8057,\dots\}\approx0.0051<10^{-2},
logo o método converge na 6ª iteração.

Resposta

O vetor solução aproximado é
x\approx \begin{pmatrix} 0.8101\\\\ 0.5471\\\\ 0.7014\\\\ 0.3855 \end{pmatrix}.

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