Determinar o vetor
sabendo que
.
10) Encontrar os números
e
tais que
, sendo
,
e
.
10) Encontrar os números
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Para a primeira parte o enunciado fornece a igualdade entre vetores
e pede determinar o vetor
.
- Para a segunda parte o enunciado fornece os vetores
e pede encontrar os números escalares
e
tais que
Passo 2
Resolver a primeira igualdade passo a passo. Começo escrevendo a equação dada:
Explicação curta: somar ou subtrair vetores significa operar componente a componente. Também lembrar que multiplicar um vetor por escalar multiplica cada componente por esse escalar.
Passo 3
Reagrupo os termos que contêm
de um lado e os vetores constantes do outro lado. Somando
em ambos os lados obtemos
À esquerda temos
. À direita faço a subtração componente a componente:
Logo
Passo 4
Agora isolo
dividindo ambos os lados por
(dividir um vetor por escalar divide cada componente por esse escalar):
Explicando: a operação
significa
.
Passo 5
Faço uma checagem rápida por substituição para ter certeza: calcular
e
Como os dois lados são iguais, a solução
está correta.
Passo 6
Agora passo para a segunda parte. Escrevo a relação de combinação linear componente a componente. Se
então em componentes:
Explicação: multiplicar escalares por vetores e somar resulta em soma componente a componente.
Passo 7
Escrevo explicitamente as três equações obtidas por componente:
Observação: a segunda equação simplifica para
.]
Passo 8
Resolvo a segunda equação, que é a mais simples:
Explicação: dividir ambos os lados por
.
Passo 9
Substituo
na primeira equação para encontrar
:
Expliquei: subtrai
de ambos os lados e divide por
.
Passo 10
Faço a verificação final usando a terceira equação e também reconstruindo o vetor:
Verificação da terceira equação:
Verificação da terceira equação:
que coincide com o valor exigido. Verificação da combinação linear:
Portanto
e
satisfazem a relação.