Determinar o vetor \vec{v} sabendo que (3,7,1)+2 \vec{v}=(6,10,4)-\vec{v}.
10) Encontrar os números a_{1} e a_{2} tais que \vec{w}=a_{1} \vec{v}_{1}+a_{2} \vec{v}_{2}, sendo \vec{v}_{1}=(1,-2,1), \vec{v}_{2}=(2,0,-4) e \vec{w}=(-4,-4,14).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Para a primeira parte o enunciado fornece a igualdade entre vetores
(3,7,1)+2\vec{v}=(6,10,4)-\vec{v},
e pede determinar o vetor \vec{v}.
  • Para a segunda parte o enunciado fornece os vetores
\vec{v}_{1}=(1,-2,1),\qquad \vec{v}_{2}=(2,0,-4),\qquad \vec{w}=(-4,-4,14),
e pede encontrar os números escalares a_{1} e a_{2} tais que
\vec{w}=a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}.

Passo 2

Resolver a primeira igualdade passo a passo. Começo escrevendo a equação dada:
(3,7,1)+2\vec{v}=(6,10,4)-\vec{v}.
Explicação curta: somar ou subtrair vetores significa operar componente a componente. Também lembrar que multiplicar um vetor por escalar multiplica cada componente por esse escalar.

Passo 3

Reagrupo os termos que contêm \vec{v} de um lado e os vetores constantes do outro lado. Somando \vec{v} em ambos os lados obtemos
2\vec{v}+\vec{v}=(6,10,4)-(3,7,1).
À esquerda temos 2\vec{v}+\vec{v}=3\vec{v}. À direita faço a subtração componente a componente:
(6,10,4)-(3,7,1)=(6-3,\;10-7,\;4-1)=(3,3,3).
Logo
3\vec{v}=(3,3,3).

Passo 4

Agora isolo \vec{v} dividindo ambos os lados por 3 (dividir um vetor por escalar divide cada componente por esse escalar):
\vec{v}=\frac{1}{3}(3,3,3)=(1,1,1).
Explicando: a operação \dfrac{1}{3}(3,3,3) significa \left(\dfrac{3}{3},\dfrac{3}{3},\dfrac{3}{3}\right)=(1,1,1).

Passo 5

Faço uma checagem rápida por substituição para ter certeza: calcular
(3,7,1)+2(1,1,1)=(3+2,\;7+2,\;1+2)=(5,9,3)
e
(6,10,4)-(1,1,1)=(6-1,\;10-1,\;4-1)=(5,9,3).
Como os dois lados são iguais, a solução \vec{v}=(1,1,1) está correta.

Passo 6

Agora passo para a segunda parte. Escrevo a relação de combinação linear componente a componente. Se
\vec{w}=a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2},
então em componentes:
(-4,-4,14)=a_{1}(1,-2,1)+a_{2}(2,0,-4).
Explicação: multiplicar escalares por vetores e somar resulta em soma componente a componente.

Passo 7

Escrevo explicitamente as três equações obtidas por componente:
\begin{aligned} \text{componente }x:&\quad a_{1}+2a_{2}=-4,\\[4pt] \text{componente }y:&\quad -2a_{1}+0\cdot a_{2}=-4,\\[4pt] \text{componente }z:&\quad a_{1}-4a_{2}=14. \end{aligned}
Observação: a segunda equação simplifica para -2a_{1}=-4.]

Passo 8

Resolvo a segunda equação, que é a mais simples:
-2a_{1}=-4\quad\Rightarrow\quad a_{1}=\frac{-4}{-2}=2.
Explicação: dividir ambos os lados por -2.

Passo 9

Substituo a_{1}=2 na primeira equação para encontrar a_{2}:
2+2a_{2}=-4\quad\Rightarrow\quad 2a_{2}=-6\quad\Rightarrow\quad a_{2}=-3.
Expliquei: subtrai 2 de ambos os lados e divide por 2.

Passo 10

Faço a verificação final usando a terceira equação e também reconstruindo o vetor:
Verificação da terceira equação:
a_{1}-4a_{2}=2-4(-3)=2+12=14,
que coincide com o valor exigido. Verificação da combinação linear:
2(1,-2,1)+(-3)(2,0,-4)=(2,-4,2)+(-6,0,12)=(-4,-4,14)=\vec{w}.
Portanto a_{1}=2 e a_{2}=-3 satisfazem a relação.

Resposta

\vec{v}=(1,1,1)
a_{1}=2,\\ a_{2}=-3

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