Um engenheiro industrial está considerando a compra de dois robôs para uma empresa de manufatura de fibras ópticas. O robô X terá um custo de aquisição de \mathrm{R} \ 85.000 , um custo de manutenção e operação (M\&O) de R\çãçã 30.000 e um valor recuperado de R$40.000. O robô Y terá um custo de aquisição de \mathrm{R} \97.000 , um custo anual de M\&O de\mathrm{R} $ 27.000 e um valor recuperado de R\ 48.000. Qual deles deve ser selecionado, com base em uma comparação do valor anual a uma taxa de juros de 12% ao ano? Utilize um período de estudo de 3 anos.
◯ a. Como o valor anual do robô X é de aproximadamente \mathbf{R} \ \mathbf{~ - 4 0 . 3 8 5 , 8 5} e o do robôôY é de aproximadamenteé\mathbf{R} \boldsymbol{$} \mathbf{- 3 5 . 3 8 9 , 6 6 ,}$ escolhe-se o robô Y.
◯ b. Como o valor anual do robô X é de aproximadamente \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{- 5 3 . 5 3 5 , 7 0} e o do robôôY é de aproximadamenteé\mathbf{R} \boldsymbol{$} \mathbf{- 5 3 . 1 6 1 , 1 0} , escolhe-se o robôô\mathbf{Y} . ◯ c. Como o valor anual do robô \(X\) é de aproximadamente \(\mathbf{R} \\)-53.161,10\(e o do robô Y é de aproximadamente\)\mathbf{R} \boldsymbol{\$} \mathbf{- 5 3 . 5 3 5 , 7 0}, escolhe-se o robô X .
◯ d. Como o valor anual do robô X é de aproximadamente \mathbf{R} \boldsymbol{\} \mathbf{- 4 0 . 3 8 5 , 8 5} e o do robôôY é de aproximadamenteé\mathrm{R} $-35.389,66 , escolhe-se o robô X . ◯ e. Como o valor anual do robô \(X\) é de aproximadamente \(\mathbf{R} \\)-\mathbf{5 3 . 5 3 5 , 7 0}\(e o do robô\)Y\(é de aproximadamente\)\mathbf{R} \boldsymbol{\$} \mathbf{- 5 3 . 1 6 1 , 1 0}\(, escolhe-se o robô \)\mathbf{X}.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os números no enunciado).
  • Período de estudo: n=3 anos.
  • Taxa de juros: i=12\% ao ano.
  • Robô X:
    • custo de aquisição: P_X=\mathrm{R}\$\,85.000.
    • custo anual de manutenção e operação: M_X=\mathrm{R}\$\,30.000.
    • valor recuperado ao fim de n: S_X=\mathrm{R}\$\,40.000.
  • Robô Y:
    • custo de aquisição: P_Y=\mathrm{R}\$\,97.000.
    • custo anual de manutenção e operação: M_Y=\mathrm{R}\$\,27.000.
    • valor recuperado ao fim de n: S_Y=\mathrm{R}\$\,48.000.
O que o enunciado pede: comparar os valores anuais equivalentes (valor anual) dos dois robôs a i=12\% e n=3 anos, e escolher o melhor (o menor custo anual).

Passo 2

Explico o método que vou usar (de forma didática e sem pular etapas).
  • Queremos o custo anual equivalente (valor anual) de cada alternativa. Esse valor anual combina:
    • o custo anual de operação/Manutenção M (já é anual),
    • mais a parcela anual equivalente do investimento inicial P,
    • menos a parcela anual equivalente do valor recuperado S (porque o salvamento reduz o custo).
  • Fórmula prática (fácil de aplicar na prova):
    • fator de recuperação de capital (A/P): \left(\dfrac{A}{P}\right)_{i,n}=\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},que transforma um valor presente P numa série uniforme anual A.
    • fator que transforma um valor futuro F (aqui S no final do período) em uma série anual A é (A/F): \left(\dfrac{A}{F}\right)_{i,n}=\dfrac{i}{(1+i)^n-1}.Observe que \left(\dfrac{A}{F}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{A}{P}\right)}{(1+i)^n}, porque F=P(1+i)^n.
  • Assim, o valor anual total (custo anual) de uma alternativa é:
    A = M + P\left(\dfrac{A}{P}\right)_{i,n} - S\left(\dfrac{A}{F}\right)_{i,n}.
    Aqui M é o custo anual (positivo), e o termo com S aparece com sinal negativo porque S é uma receita no final que reduz o custo equivalente anual.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para X e Y.

Passo 3

Calcular (1+i)^n para i=0{,}12 e n=3.
(1+i)^n = 1{,}12^3 = 1{,}404928.

Passo 4

Calcular os fatores \left(\dfrac{A}{P}\right)_{i,n} e \left(\dfrac{A}{F}\right)_{i,n} para i=12\%, n=3.
  • Primeiro,
\left(\dfrac{A}{P}\right)_{0{,}12,3} = \dfrac{0{,}12\cdot 1{,}404928}{1{,}404928-1} = \dfrac{0{,}16859136}{0{,}404928}\approx 0{,}416358.
  • Em seguida,
\left(\dfrac{A}{F}\right)_{0{,}12,3} = \dfrac{0{,}12}{1{,}404928-1} = \dfrac{0{,}12}{0{,}404928}\approx 0{,}296457.
(Expliquei: o \left(\dfrac{A}{P}\right) é a parcela anual que transforma o valor presente P numa série de n anuidades; o \left(\dfrac{A}{F}\right) faz o mesmo para um valor futuro F.)

Passo 5

Calcular o valor anual do robô X aplicando a fórmula:
A_X = M_X + P_X\left(\dfrac{A}{P}\right) - S_X\left(\dfrac{A}{F}\right).
Substituindo os números (todos escritos em TeX):
P_X\left(\dfrac{A}{P}\right)=85.000\times 0{,}416358\approx 35.390{,}43.
S_X\left(\dfrac{A}{F}\right)=40.000\times 0{,}296457\approx 11.858{,}28.
\text{Portanto }A_X = 30.000 + 35.390{,}43 - 11.858{,}28 = 53.532{,}15.
Como é um custo anual (saída de caixa), escrevemos com sinal negativo: A_X \approx -\mathrm{R}\$\,53.532{,}15.
(Observação didática: em prova, faça as multiplicações com cuidado; aqui mantive arredondamento a centavos ao final.)

Passo 6

Calcular o valor anual do robô Y com a mesma fórmula:
A_Y = M_Y + P_Y\left(\dfrac{A}{P}\right) - S_Y\left(\dfrac{A}{F}\right).
Substituindo:
P_Y\left(\dfrac{A}{P}\right)=97.000\times 0{,}416358\approx 40.386{,}73.
S_Y\left(\dfrac{A}{F}\right)=48.000\times 0{,}296457\approx 14.229{,}94.
\text{Portanto }A_Y = 27.000 + 40.386{,}73 - 14.229{,}94 = 53.156{,}79.
Com sinal de custo:
A_Y \approx -\mathrm{R}\$\,53.156{,}79.

Passo 7

Comparação e escolha — interpretação prática (e encorajamento rápido):
  • O critério é escolher o menor custo anual. Aqui os dois custos anuais são próximos, mas A_X \approx -\mathrm{R}\$\,53.532{,}15,\qquad A_Y \approx -\mathrm{R}\$\,53.156{,}79.
  • Como -53.156{,}79 é maior (menos negativo) que -53.532{,}15, o robô Y tem o menor custo anual e, portanto, é a escolha econômica correta.
(Você fez um ótimo trabalho chegando até aqui — é normal que esses cálculos fiquem bem juntinhos; atenção aos fatores e ao arredondamento na prova.)

Resposta

(b)

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