Exercício 5. Seja
\mathbb{V} um espaço vetorial complexo. Uma forma sesquilinear é uma função
\sigma: \mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{C}
que é linear na primeira entrada e conjugado-linear na segunda, no sentido de que, para todos
y, y_{1}, y_{2} \in \mathbb{V} e todo
\lambda \in \mathbb{C}, vale que
\sigma\left(x_{1}+\lambda x_{2}, y\right)=\sigma\left(x_{1}, y\right)+\lambda \sigma\left(x_{2}, y\right), \quad \sigma\left(y, x_{1}+\lambda x_{2}\right)=\sigma\left(y, x_{1}\right)+\bar{\lambda} \sigma\left(y, x_{2}\right) .
(a) Prove a seguinte forma mais geral da identidade de polarização: Para qualquer forma sesquilinear
\sigma como acima, vale que
\sigma(x, y)=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} i^{k} \sigma\left(x+i^{k} y, x+i^{k} y\right) .
(b) Se
\mathbb{V} é um EPI complexo e
T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V} é uma transformação linear, mostre que a função
\sigma_{T}: \mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{C}, \quad \sigma_{T}(x, y)=\langle T(x), y\rangle
é uma forma sesquilinear.
(c) Seja
\mathbb{V} um EPI complexo. Mostre que duas transformações lineares
T, S: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V} são iguais se, e somente se,
\langle T(x), y\rangle=\langle S(x), y\rangle para todo
x, y \in \mathbb{V}.