Determinar o vetor \vec{v}, sabendo que |\vec{v}|=5, \vec{v} é ortogonal ao eixo O x, \vec{v} \cdot \vec{w}=6 \mathrm{e} \vec{w}=\vec{i}+2 \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede o vetor \vec{v} que satisfaz
  • \lvert \vec{v}\rvert = 5,
  • \vec{v} é ortogonal ao eixo Ox,
  • \vec{v}\cdot\vec{w}=6, onde \vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}.
    Para resolver vamos usar coordenadas em \mathbb{R}^3, definição de norma e produto escalar.

Passo 2

A condição de ortogonalidade ao eixo Ox equivale a
\vec{v}\cdot\vec{i}=0.
Escrevendo \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), isso dá v_1=0. Logo podemos escrever
\vec{v}=(0,v_2,v_3).

Passo 3

O produto escalar com \vec{w}=(1,2,0) é
\vec{v}\cdot\vec{w}=0\cdot1 + v_2\cdot2 + v_3\cdot0 = 2v_2.
Como \vec{v}\cdot\vec{w}=6, segue
2v_2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = 3.

Passo 4

A norma de \vec{v} é
\lvert \vec{v}\rvert^2 = 0^2 + v_2^2 + v_3^2 = v_2^2 + v_3^2 = 25.
Substituindo v_2=3, obtemos
v_3^2 = 25 - 3^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad v_3 = 4 \text{ ou } v_3 = -4.

Resposta

\vec{v} = (0,3,4) ou \vec{v} = (0,3,-4).

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