Seja V=P_{1} o espaço vetorial dos polinômios de grau n \leq 1. Sejam S=\left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}\right\} e T=\left\{\overrightarrow{w_{1}}, \overrightarrow{w_{2}}\right\} bases de P_{1}, em que:
\overrightarrow{v_{1}}=t, \quad \overrightarrow{v_{2}}=1, \quad \overrightarrow{w_{1}}=t+1, \quad \overrightarrow{w_{2}}=t-1
a) Escreva o vetor \vec{v}=5 t-2 nas bases S e T
b) Qual a dimensão de V=P_{1} ? Quantos vetores são necessários para formar uma base neste espaço vetorial.
Resposta:
\vec{v}_{S}=(5,-2). Observação: S é a base canônica de V=P_{1}.
\vec{v}_{T}=(3 / 2,7 / 2).

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial V = P_{1} (polinômios de grau \le1) e duas bases
S = \{\,\vec v_1 = t,\;\vec v_2 = 1\}, \qquad T = \{\,\vec w_1 = t+1,\;\vec w_2 = t-1\}.
Pede (a) as coordenadas do vetor \vec v = 5t-2 nessas bases e (b) a dimensão de V e quantos vetores formam uma base. Vamos usar combinação linear e a definição de dimensão.

Passo 2

Para achar as coordenadas em S, escrevemos
\vec v = 5t - 2 = \alpha\,(t) + \beta\,(1).
Comparando coeficientes de t e do termo constante, temos
\alpha = 5, \quad \beta = -2.
Logo, em S:
\vec v_{S} = (5,\,-2).

Passo 3

Para as coordenadas em T\), buscamos \(a,b\) tais que \[a\,(t+1) + b\,(t-1) = (a+b)\,t + (a - b) = 5\,t - 2.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + b = 5,\\\ a - b = -2. \end{cases}
Somando as duas equações, 2a = 3\] de onde \(a = \tfrac{3}{2}. Então b = 5 - a = \tfrac{7}{2}. Assim,
\vec v_{T} = \Bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{7}{2}\Bigr).

Passo 4

Por definição, o espaço P_{1} tem dimensão igual ao número de coeficientes independentes de um polinômio de grau \le1.
Isso dá \dim(V) = 2.
Logo, é preciso exatamente 2 vetores para formar uma base de V.

Resposta

\vec v_{S} = (5,-2)
\vec v_{T} = \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{2}\bigr)
\dim(V)=2, e uma base de V tem 2 vetores.

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