Exercício 5. Seja \mathbb{V} um espaço vetorial complexo. Uma forma sesquilinear é uma função
\sigma: \mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{C}
que é linear na primeira entrada e conjugado-linear na segunda, no sentido de que, para todos y, y_{1}, y_{2} \in \mathbb{V} e todo \lambda \in \mathbb{C}, vale que
\sigma\left(x_{1}+\lambda x_{2}, y\right)=\sigma\left(x_{1}, y\right)+\lambda \sigma\left(x_{2}, y\right), \quad \sigma\left(y, x_{1}+\lambda x_{2}\right)=\sigma\left(y, x_{1}\right)+\bar{\lambda} \sigma\left(y, x_{2}\right) .
(a) Prove a seguinte forma mais geral da identidade de polarização: Para qualquer forma sesquilinear \sigma como acima, vale que
\sigma(x, y)=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} i^{k} \sigma\left(x+i^{k} y, x+i^{k} y\right) .
(b) Se \mathbb{V} é um EPI complexo e T: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V} é uma transformação linear, mostre que a função
\sigma_{T}: \mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{C}, \quad \sigma_{T}(x, y)=\langle T(x), y\rangle
é uma forma sesquilinear.
(c) Seja \mathbb{V} um EPI complexo. Mostre que duas transformações lineares T, S: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V} são iguais se, e somente se, \langle T(x), y\rangle=\langle S(x), y\rangle para todo x, y \in \mathbb{V}.

Passo 1

O enunciado trata de três itens envolvendo formas sesquilineares em espaço vetorial complexo e produto interno.
Conteúdo necessário: definição de forma sesquilinear (linear na primeira entrada e conjugado-linear na segunda), propriedades do produto interno (linearidade e não-degenerescência) e soma de potências de i.
Objetivos:
– (a) Provar a identidade de polarização
\sigma(x,y)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}\,\sigma\bigl(x+i^{k}y,\;x+i^{k}y\bigr).
– (b) Mostrar que \sigma_{T}(x,y)=\langle T(x),y\rangle é sesquilinear.
– (c) Usar não-degenerescência para concluir que, se \langle T(x),y\rangle=\langle S(x),y\rangle para todos x,y, então T=S.

Passo 2

Provar (a): comece escrevendo
\sum_{k=0}^{3}i^{k}\,\sigma\bigl(x+i^{k}y,\;x+i^{k}y\bigr).
Usando sesquilinearidade, em cada termo expandimos em «primeira» e «segunda» entradas:
\sigma\bigl(x+i^{k}y,\;x+i^{k}y\bigr) =\sigma(x,x)+i^{k}\sigma(y,x) +\overline{i^{k}}\sigma(x,y)+\overline{i^{k}}\,i^{k}\,\sigma(y,y).
Mas \overline{i^{k}}=i^{-k} e \overline{i^{k}}\,i^{k}=1. Logo cada soma interna é
\sigma(x,x)+i^{k}\sigma(y,x)+i^{-k}\sigma(x,y)+\sigma(y,y).
Multiplicando por i^{k} e somando k=0,1,2,3, obtemos
\sum_{k=0}^3 i^{k}\sigma(x,x) +\sum_{k=0}^3 i^{2k}\sigma(y,x) +\sum_{k=0}^3 \sigma(x,y) +\sum_{k=0}^3 i^{k}\sigma(y,y).

Passo 3

Avalie as somas de potências de i:
\sum_{k=0}^3 i^{k}=0,\quad \sum_{k=0}^3 i^{2k}=1+(-1)+1+(-1)=0.
Portanto só sobra
\sum_{k=0}^3 i^{k}\,\sigma\bigl(x+i^{k}y,x+i^{k}y\bigr) =4\,\sigma(x,y).
Dividindo por 4 chega-se à identidade de polarização desejada.

Passo 4

Provar (b): seja \sigma_{T}(x,y)=\langle T(x),y\rangle. Para toda \lambda\in\mathbb{C} e x_{1},x_{2},y,y_{1},y_{2}:
linearidade na primeira entrada
\sigma_{T}(x_{1}+\lambda x_{2},y) =\langle T(x_{1}+\lambda x_{2}),y\rangle =\langle T(x_{1})+\lambda T(x_{2}),y\rangle =\sigma_{T}(x_{1},y)+\lambda\,\sigma_{T}(x_{2},y),
conjugado-linearidade na segunda
\sigma_{T}(y,x_{1}+\lambda x_{2}) =\langle T(y),\,x_{1}+\lambda x_{2}\rangle =\langle T(y),x_{1}\rangle+\overline{\lambda}\,\langle T(y),x_{2}\rangle =\sigma_{T}(y,x_{1})+\bar{\lambda}\,\sigma_{T}(y,x_{2}).

Passo 5

Provar (c): se \langle T(x),y\rangle=\langle S(x),y\rangle \,\forall x,y, então
\langle T(x)-S(x),\,y\rangle=0\quad\forall y.
Pela não-degenerescência do produto interno segue T(x)-S(x)=0 para todo x, isto é, T=S. Reciprocamente, se T=S a igualdade de produtos internos é trivial.

Resposta

(a) Foi demonstrado que
\sum_{k=0}^3 i^{k}\,\sigma(x+i^{k}y,x+i^{k}y)=4\,\sigma(x,y),
logo
\sigma(x,y)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^3 i^{k}\,\sigma(x+i^{k}y,x+i^{k}y).
(b) Verifica-se diretamente que \sigma_{T} satisfaz a linearidade em x e conjugado-linearidade em y.
(c) A condição \langle T(x),y\rangle=\langle S(x),y\rangle \,\forall x,y implica T(x)-S(x)=0 e, portanto, T=S.

Exercícios relacionados