que é linear na primeira entrada e conjugado-linear na segunda, no sentido de que, para todos y, y_{1}, y_{2} \in \mathbb{V} e todo \lambda \in \mathbb{C}, vale que
é uma forma sesquilinear.
(c) Seja \mathbb{V} um EPI complexo. Mostre que duas transformações lineares T, S: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V} são iguais se, e somente se, \langle T(x), y\rangle=\langle S(x), y\rangle para todo x, y \in \mathbb{V}.
Passo 1
O enunciado trata de três itens envolvendo formas sesquilineares em espaço vetorial complexo e produto interno.
Conteúdo necessário: definição de forma sesquilinear (linear na primeira entrada e conjugado-linear na segunda), propriedades do produto interno (linearidade e não-degenerescência) e soma de potências de i.
Objetivos:
– (a) Provar a identidade de polarização
– (b) Mostrar que \sigma_{T}(x,y)=\langle T(x),y\rangle é sesquilinear.
– (c) Usar não-degenerescência para concluir que, se \langle T(x),y\rangle=\langle S(x),y\rangle para todos x,y, então T=S.
Provar (c): se \langle T(x),y\rangle=\langle S(x),y\rangle \,\forall x,y, então
\langle T(x)-S(x),\,y\rangle=0\quad\forall y.
Pela não-degenerescência do produto interno segue T(x)-S(x)=0 para todo x, isto é, T=S. Reciprocamente, se T=S a igualdade de produtos internos é trivial.
(b) Verifica-se diretamente que \sigma_{T} satisfaz a linearidade em x e conjugado-linearidade em y.
(c) A condição \langle T(x),y\rangle=\langle S(x),y\rangle \,\forall x,y implica T(x)-S(x)=0 e, portanto, T=S.