Determinar o vetor \vec{v}, sabendo que
(3,7,1)+2 \vec{v}=(6,10,4)-\vec{v}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação entre vetores
(3,7,1)+2\vec{v}=(6,10,4)-\vec{v},
e pede para determinar o vetor \vec{v}. Vou listar aqui as informações relevantes:
  • A incógnita é o vetor \vec{v}, que está em \mathbb{R}^3 (tem três componentes).
  • A equação envolve soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar.

Passo 2

Conceitos importantes e regras que vou usar (explicados de forma simples):
  • Igualdade de vetores: dois vetores são iguais se e somente se todas as suas componentes correspondentes são iguais. Por exemplo, (a,b,c)=(d,e,f) implica a=d, b=e, c=f.
  • Multiplicação por escalar: se \lambda é um número e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), então \lambda\vec{w}=(\lambda w_1,\lambda w_2,\lambda w_3).
  • Soma e subtração de vetores é feita componente a componente: (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) e (a,b,c)-(d,e,f)=(a-d,b-e,c-f).
    Vou usar essas regras para transformar a equação e isolar \vec{v}.

Passo 3

Primeira manipulação algébrica: juntar os termos com \vec{v}. Parto da equação
(3,7,1)+2\vec{v}=(6,10,4)-\vec{v}.
Somando \vec{v} em ambos os lados (isso é válido porque podemos somar o mesmo vetor aos dois lados) obtemos
(3,7,1)+3\vec{v}=(6,10,4).
Agora subtraio o vetor (3,7,1) de ambos os lados para deixar apenas o termo com \vec{v} no lado esquerdo:
3\vec{v}=(6,10,4)-(3,7,1).

Passo 4

Calcular a subtração componente a componente (aplicando a regra que expliquei):
(6,10,4)-(3,7,1)=(6-3,\,10-7,\,4-1)=(3,3,3).
Portanto a equação ficou
3\vec{v}=(3,3,3).

Passo 5

Isolar \vec{v}: dividir ambos os lados por 3 (equivalente a multiplicar por \tfrac{1}{3}). Lembre que dividir um vetor por um escalar é multiplicar todas as componentes por o recíproco desse escalar. Assim,
\vec{v}=\tfrac{1}{3}(3,3,3).
Fazendo a multiplicação componente a componente:
\vec{v}=(1,1,1).

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituir \vec{v}=(1,1,1) na equação original.
  • Lado esquerdo: (3,7,1)+2\vec{v}=(3,7,1)+2(1,1,1)=(3+2,\,7+2,\,1+2)=(5,9,3).
  • Lado direito: (6,10,4)-\vec{v}=(6,10,4)-(1,1,1)=(6-1,\,10-1,\,4-1)=(5,9,3).
    Os dois lados coincidem, logo a solução está correta.

Resposta

\vec{v}=(1,1,1)

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