Obter um ponto P do cixo das abscissas equidistante dos pontos A(2,-3,1) e B(-2,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um ponto P que pertence ao eixo das abscissas (eixo x) e que seja equidistante dos pontos A(2,-3,1) e B(-2,1,-1).
Informações dadas:
  • A=(2,-3,1).
  • B=(-2,1,-1).
  • P está no eixo das abscissas, portanto suas coordenadas têm a forma (\text{algo},0,0).
  • A condição “equidistante” significa que a distância de P até A é igual à distância de P até B.

Passo 2

Escolher uma variável para representar a coordenada de P. Como P está no eixo x, escrevo
P=(t,0,0),
onde t é a abscissa desconhecida que vamos determinar. Aqui t é um número real; ao final teremos o ponto P substituindo t.

Passo 3

Apresentar a fórmula da distância em \mathbb{R}^3. Para dois pontos X=(x_1,y_1,z_1) e Y=(x_2,y_2,z_2), a distância é
\text{dist}(X,Y)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.
É comum, para evitar lidar com raízes, igualar as distâncias ao quadrado (já que a função u\mapsto u^2 é monotônica para u\ge0). Assim usaremos \text{dist}^2(P,A)=\text{dist}^2(P,B).

Passo 4

Calcular as componentes dos vetores \overrightarrow{PA} e \overrightarrow{PB} e as distâncias ao quadrado.
Para A=(2,-3,1) e P=(t,0,0):
\overrightarrow{PA}=(t-2,\;0-(-3)=3,\;0-1=-1),
portanto
\text{dist}^2(P,A)=(t-2)^2+3^2+(-1)^2=(t-2)^2+9+1=(t-2)^2+10.
Para B=(-2,1,-1) e P=(t,0,0):
\overrightarrow{PB}=(t-(-2)=t+2,\;0-1=-1,\;0-(-1)=1),
portanto
\text{dist}^2(P,B)=(t+2)^2+(-1)^2+1^2=(t+2)^2+1+1=(t+2)^2+2.

Passo 5

Impor a condição de equidistância igualando as distâncias ao quadrado e resolver para t:
(t-2)^2+10=(t+2)^2+2.
Expandindo os quadrados:
(t^2-4t+4)+10=(t^2+4t+4)+2.
Somando constantes:
t^2-4t+14 = t^2+4t+6.
Cancelar t^2 dos dois lados:
-4t+14=4t+6.
Agrupar termos em t:
14-6=4t+4t \quad\Rightarrow\quad 8=8t.
Logo
t=1.

Passo 6

Interpretar o resultado e verificar rapidamente. Com t=1 temos
P=(1,0,0).
Verificação dos quadrados das distâncias:
\text{dist}^2(P,A)=(1-2)^2+10=1+10=11,
\text{dist}^2(P,B)=(1+2)^2+2=9+2=11,
são iguais, logo P=(1,0,0) satisfaz a condição de equidistância.

Resposta

(1,0,0)

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