Para se determinar o volume maciço de um cilindro metálico vazado por uma esfera, mediu-se 5 vezes o diâmetro do cilindro com um micrômetro obtendo-se: com um desvio relativo de 5,6% e o. A sua altura H foi medida com um paquímetro com os valores dados na tabela abaixo:
7,290
7,275
7,280
7,255
7,260
O diâmetro da esfera é igual a para 6 medidas
Determine o valor médio do volume ( V ) do objeto e o seu desvio padrão, e escreva na forma V=V pm sv (resp.V=27,4士3,0cm ^3 )
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um cilindro metálico com uma esfera vazada dentro dele. Precisamos calcular o volume médio desse objeto e também o desvio padrão desse volume. Pra isso, vamos usar as medidas do diâmetro do cilindro e da altura que foram tiradas várias vezes. Vamos precisar das fórmulas de volume do cilindro e da esfera, além de entender como calcular média e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o diâmetro médio do cilindro. A média do diâmetro barD foi dada como 2,2155 cm com um desvio relativo de 5,6%. O desvio relativo nos ajuda a encontrar o desvio padrão do diâmetro.
Para achar o desvio padrão (sD):
sD = barD times Desvio Relativo = 2,2155 , cm times 0,056 = 0,124 , cm
Passo 3
Agora, vamos calcular a média da altura H usando os valores fornecidos na tabela:
Para encontrar o desvio padrão da altura, usamos a fórmula:
sH = raizsum (Hi - barH)^2n-1
Calculando:
sH = raiz(7,290-7,272)^2 + (7,275-7,272)^2 + (7,280-7,272)^2 + (7,255-7,272)^2 + (7,260-7,272)^24 approx 0,015 , cm
Passo 4
O diâmetro da esfera d é 1,125 cm e foi dado que sum(di-bard)^2 = 0,002580 , cm^2 para 6 medidas. Então, o desvio padrão da esfera sd é:
sd = raiz0,0025806-1 = raiz0,000516 approx 0,0227 , cm
Passo 5
Agora, vamos calcular os volumes. O volume do cilindro Vcil é dado por:
Vcil = pi (barD2)^2 times barH
E o volume da esfera Vesf é:
Vesf = 43 pi (d2)^3
Então, o volume maciço V do objeto é:
V = Vcil - Vesf
Passo 6
Vamos calcular Vcil:
Vcil = pi (2,21552)^2 times 7,272 approx 3,1416 times (1,10775)^2 times 7,272 approx 3,1416 times 1,2273 times 7,272 approx 28,1 , cm^3
E Vesf:
Vesf = 43 pi (1,1252)^3 approx 43 times 3,1416 times (0,5625)^3 approx 43 times 3,1416 times 0,177978 approx 0,746 , cm^3
Então,
V = 28,1 - 0,746 = 27,354 , cm^3
Passo 7
Agora, vamos calcular o desvio padrão do volume sV. Para isso, precisamos propagar os erros das medidas de diâmetro e altura para os volumes do cilindro e da esfera.