Para se determinar o volume maciço de um cilindro metálico vazado por uma esfera, mediu-se 5 vezes o diâmetro D do cilindro com um micrômetro obtendo-se: barD=2,2155 cm com um desvio relativo de 5,6% e o. A sua altura H foi medida com um paquímetro com os valores dados na tabela abaixo:
H(cm) 7,290 7,275 7,280 7,255 7,260
O diâmetro da esfera é igual a d=1,125 cm com sum(di-bard)^2=0,002580 cm^2 para 6 medidas
Determine o valor médio do volume ( V ) do objeto e o seu desvio padrão, e escreva na forma V=V pm sv (resp.V=27,4士3,0cm ^3 )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um cilindro metálico com uma esfera vazada dentro dele. Precisamos calcular o volume médio desse objeto e também o desvio padrão desse volume. Pra isso, vamos usar as medidas do diâmetro do cilindro e da altura que foram tiradas várias vezes. Vamos precisar das fórmulas de volume do cilindro e da esfera, além de entender como calcular média e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o diâmetro médio do cilindro. A média do diâmetro barD foi dada como 2,2155 cm com um desvio relativo de 5,6%. O desvio relativo nos ajuda a encontrar o desvio padrão do diâmetro.
Para achar o desvio padrão ( sD):
sD = barD times Desvio Relativo = 2,2155 , cm times 0,056 = 0,124 , cm

Passo 3

Agora, vamos calcular a média da altura H usando os valores fornecidos na tabela:
barH = 7,290 + 7,275 + 7,280 + 7,255 + 7,2605 = 36,3605 = 7,272 , cm
Para encontrar o desvio padrão da altura, usamos a fórmula:
sH = raizsum (Hi - barH)^2n-1
Calculando:
sH = raiz(7,290-7,272)^2 + (7,275-7,272)^2 + (7,280-7,272)^2 + (7,255-7,272)^2 + (7,260-7,272)^24 approx 0,015 , cm

Passo 4

O diâmetro da esfera d é 1,125 cm e foi dado que sum(di-bard)^2 = 0,002580 , cm^2 para 6 medidas. Então, o desvio padrão da esfera sd é:
sd = raiz0,0025806-1 = raiz0,000516 approx 0,0227 , cm

Passo 5

Agora, vamos calcular os volumes. O volume do cilindro Vcil é dado por:
Vcil = pi (barD2)^2 times barH
E o volume da esfera Vesf é:
Vesf = 43 pi (d2)^3
Então, o volume maciço V do objeto é:
V = Vcil - Vesf

Passo 6

Vamos calcular Vcil:
Vcil = pi (2,21552)^2 times 7,272 approx 3,1416 times (1,10775)^2 times 7,272 approx 3,1416 times 1,2273 times 7,272 approx 28,1 , cm^3
E Vesf:
Vesf = 43 pi (1,1252)^3 approx 43 times 3,1416 times (0,5625)^3 approx 43 times 3,1416 times 0,177978 approx 0,746 , cm^3
Então,
V = 28,1 - 0,746 = 27,354 , cm^3

Passo 7

Agora, vamos calcular o desvio padrão do volume sV. Para isso, precisamos propagar os erros das medidas de diâmetro e altura para os volumes do cilindro e da esfera.
Usando a regra de propagação de erros:
(sVcilVcil)^2 = (2 sDD)^2 + (sHH)^2
(sVcil28,1)^2 = (2 0,1242,2155)^2 + (0,0157,272)^2
Calculando:
(sVcil28,1)^2 = (0,112)^2 + (0,00206)^2 approx 0,012544 + 0,0000042 approx 0,012548
sVcil approx 28,1 times raiz0,012548 approx 28,1 times 0,112 approx 3,15 , cm^3
Para o volume da esfera, a propagação de erro é:
(sVesfVesf)^2 = (3 sdd)^2
(sVesf0,746)^2 = (3 0,02271,125)^2 approx (0,0608)^2 approx 0,0037
sVesf approx 0,746 times raiz0,0037 approx 0,746 times 0,061 approx 0,045 , cm^3
Então, o desvio padrão total do volume é:
sV = sVcil + sVesf approx 3,15 + 0,045 = 3,195 , cm^3
Arredondando, temos sV approx 3,2 , cm^3.

Resposta

V = 27,4 pm 3,2 , cm^3

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