Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e
. Isso cai no tópico de coordenadas cilíndricas e integrais triplas: vamos montar o integral em
e calcular passo a passo.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o volume é dado por
. A projeção no plano
é o domínio onde
e
. A altura vai de
até a esfera
. Assim,
[ V = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=0}^{4\cos\theta} \int_{z=0}{\sqrt{16-r2}} r ,dz,dr,d\theta ]
[ V = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=0}^{4\cos\theta} \int_{z=0}{\sqrt{16-r2}} r ,dz,dr,d\theta ]
Passo 3
Integramos primeiro em
:
logo o integral vira
Passo 4
Para o
-integral usamos a substituição
,
. Isso dá
Passo 5
Agora o volume é
Passo 6
Como o integrando é par, fazemos
Passo 7
Sabendo que
, vem