Determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies r=4 cos theta, z=0 e r^2=16-z^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies r=4costheta, z=0 e r^2+z^2=16. Isso cai no tópico de coordenadas cilíndricas e integrais triplas: vamos montar o integral em (r,theta,z) e calcular passo a passo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o volume é dado por V=integral!integral!integral r,dz,dr,dtheta. A projeção no plano z=0 é o domínio onde 0<= r<=4costheta e -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. A altura vai de z=0 até a esfera z=raiz16-r^2. Assim,
[ V = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=0}^{4\cos\theta} \int_{z=0}{\sqrt{16-r2}} r ,dz,dr,d\theta ]

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^raiz16-r^2 dz = raiz16-r^2,
logo o integral vira V=integral-pi/2^pi/2integral0^4costheta rraiz16-r^2,dr,dtheta.

Passo 4

Para o r-integral usamos a substituição u=16-r^2, du=-2r,dr. Isso dá
integral0^4costheta rraiz16-r^2,dr = 13l[16^3/2 - (16sin^2theta)^3/2r] = 643l(1 - |sintheta|^3r)

Passo 5

Agora o volume é
V = 643 integral-pi/2^pi/2 l(1 - |sintheta|^3r) dtheta

Passo 6

Como o integrando é par, fazemos
V = 1283 integral0^pi/2 l(1 - sin^3thetar) dtheta = 1283l[theta - integral0^pi/2sin^3theta,dthetar]0^pi/2

Passo 7

Sabendo que integral0^pi/2sin^3theta,dtheta=tfrac23, vem
V = 1283l(pi2 - 23r) = 649(3pi - 4)

Resposta

V = 649(3pi - 4).

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