Nos exercícios
, resolva os PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Depois, usamos as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo para $ r $:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é uma função trigonométrica, tentamos uma solução particular da forma:
Passo 4
Vamos derivar $ y_p(x) $ para substituir na equação:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Igualamos os coeficientes das funções trigonométricas:
Para $ \cos(x) $:
Para $ \sin(x) $:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Agora, combinamos a solução geral da homogênea com a solução particular:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: $ y(0) = 1 $
Segunda condição: $ y’(0) = 1 $
Primeiro, encontramos $ y’(x) $:
Aplicando $ x = 0 $:
Passo 8
Agora temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em $ C_1 + C_2 = 1 $:
Resposta
A solução do PVI é: