Encontre a área da região limitada pela curva y=raizx^2-4x^2 no intervalo de x=4 a x=10.

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é encontrar a área da região que está limitada pela curva $ y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{2}} $ no intervalo de $ x = 4 $ até $ x = 10 $. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área que queremos é dada pela integral definida da função $ y $ em relação a $ x $ de 4 a 10. Isso fica assim:
y Á

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar:
u = raizx^2 - 4
Para encontrar $ du $, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
du
Rearranjando para $ dx $:
u

Passo 4

Substituindo $ u $ e $ dx $ na integral original:
u Á
Sabemos que $ x^{2} = u^{2} + 4 $, então $ x = \sqrt{u^{2} + 4} $. Substituindo isso na integral:
dx Á

Passo 5

Resolvendo a integral $ \int \frac{u{2}}{(u{2} + 4)^{3/2}} , du $:
Podemos simplificar a integral dividindo o numerador e denominador:
integral u^2(u^2 + 4)^3/2 , du
Agora, integramos cada termo separadamente:
u^2(u^2 + 4)^3/2 = u^2 + 4 - 4(u^2 + 4)^3/2 = u^2 + 4(u^2 + 4)^3/2 - 4(u^2 + 4)^3/2 = 1raizu^2 + 4 - 4(u^2 + 4)^3/2
Então, a integral completa fica:
integral 1raizu^2 + 4 , du = ln | u + raizu^2 + 4 | + C Á

Passo 6

Voltando à variável original $ x $, lembrando que $ u = \sqrt{x^{2} - 4} $, temos:
x Á
Agora, aplicamos os limites de integração de $ x = 4 $ a $ x = 10 $:
u = raizx^2 - 4 Á
Simplificando os valores dentro dos logaritmos e radicais:
Área = ln | raizx^2 - 4 + x | - raizx^2 - 4x + C
x = 4
Substituindo de volta:
x = 10 Á

Resposta

A área da região é:
6 - 2raiz65 + raiz32 approx 6,38 unidades² ²

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