Encontre a área da região limitada pela curva
no intervalo de
a
.
Passo 1
Então, o que a gente precisa aqui é encontrar a área da região que está limitada pela curva $ y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x^{2}} $ no intervalo de $ x = 4 $ até $ x = 10 $. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área que queremos é dada pela integral definida da função $ y $ em relação a $ x $ de 4 a 10. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar:
Para encontrar $ du $, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Rearranjando para $ dx $:
Passo 4
Substituindo $ u $ e $ dx $ na integral original:
Sabemos que $ x^{2} = u^{2} + 4 $, então $ x = \sqrt{u^{2} + 4} $. Substituindo isso na integral:
Passo 5
Resolvendo a integral $ \int \frac{u{2}}{(u{2} + 4)^{3/2}} , du $:
Podemos simplificar a integral dividindo o numerador e denominador:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Voltando à variável original $ x $, lembrando que $ u = \sqrt{x^{2} - 4} $, temos:
Agora, aplicamos os limites de integração de $ x = 4 $ a $ x = 10 $:
Simplificando os valores dentro dos logaritmos e radicais:
Substituindo de volta:
Resposta
A área da região é: