Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.4) x=y^2, x=2-y^2, ao redor do eixo y=-1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região R, limitada pelas curvas x=y² e x=2−y², em torno do eixo y=−1. Aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas, integrando em y, pois o eixo de rotação é horizontal e as equações estão dadas em função de y.

Passo 2

Para usar cascas, precisamos achar os limites em y de R. Igualando y²=2−y² obtemos 2y²=2, ou seja y²=1, logo y varia de −1 a 1.

Passo 3

Em cada y fixo, a casca tem raio igual à distância do ponto y até o eixo y=−1, isto é R(y)=y−(−1)=y+1, e altura dada pela diferença em x: x_{direita}−x_{esquerda}=(2−y²)−(y²)=2−2y².

Passo 4

Aplicando a fórmula do método das cascas cilíndricas, o volume é
V=integraly=-1^12pi,R(y),h(y),dy=2piintegral-1^1(y+1)(2-2y^2),dy

Passo 5

Simplificando a integral, temos
V=4piintegral-1^1(y+1)(1-y^2),dy=4piintegral-1^1(-y^3 - y^2 + y + 1),dy
Integrando termo a termo e avaliando em y=−1 e y=1 resulta em 4\pi\cdot\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Após calcular a integral, o volume final fica
V=16pi3

Resposta

16pi3

Exercícios relacionados