Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região
delimitada pelo gráfico das equações dadas, em torno do eixo indicado.
10.4)
ao redor do eixo
10.4)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região R, limitada pelas curvas x=y² e x=2−y², em torno do eixo y=−1. Aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas, integrando em y, pois o eixo de rotação é horizontal e as equações estão dadas em função de y.
Passo 2
Para usar cascas, precisamos achar os limites em y de R. Igualando y²=2−y² obtemos 2y²=2, ou seja y²=1, logo y varia de −1 a 1.
Passo 3
Em cada y fixo, a casca tem raio igual à distância do ponto y até o eixo y=−1, isto é R(y)=y−(−1)=y+1, e altura dada pela diferença em x: x_{direita}−x_{esquerda}=(2−y²)−(y²)=2−2y².
Passo 4
Aplicando a fórmula do método das cascas cilíndricas, o volume é
Passo 5
Simplificando a integral, temos
Integrando termo a termo e avaliando em y=−1 e y=1 resulta em 4\pi\cdot\tfrac{4}{3}.
Passo 6
Após calcular a integral, o volume final fica