Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.7) y^2=x, e x=2 y

Passo 1

Estamos com a região R limitada pelas curvas y^2 = x e x = 2y, gerando um sólido de revolução ao rotacionar em torno do eixo x. O conteúdo aqui é cálculo de volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que exige conhecer raio, altura e limites em y.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção de y^2 = x e x=2y. Substituindo x=y^2 em x=2y y^2 = 2y, ou seja y(y-2)=0, logo y=0 e y=2. Esses serão nossos limites de integração em y.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada casca a uma altura y tem raio y e altura igual à diferença entre x das curvas direita e esquerda. Aqui, xdireita=2y e xesquerda=y^2, então a altura da casca é 2y - y^2.

Passo 4

Montamos a integral do volume como
V = integraly=0^2 2pi ;(raio); (a

Passo 5

Agora basta calcular a integral:
2pi integral0^2 (2y^2 - y^3),dy = 2pi l[2y^33 - y^44r]0^2 = 2pi l(163 - 4r) = 2pi cdot 43 = 8pi3

Resposta

V = dfrac8pi3

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