Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
8.6) y=e^x, x=0, x=1, e y=0

Passo 1

A região R é limitada por y= e^{x}, x=0, x=1 e y=0, e vamos girar R em torno do eixo x para gerar um sólido; o conteúdo envolvido é volume de revolução usando o método de discos, em que precisamos montar uma integral do tipo V=\int_{a}^{b} π [f(x)]^2 dx.

Passo 2

Como o disco numa fatia x tem raio igual a y= e^{x}, a área do disco é π(e{x})2. Logo, a integral que dá o volume é:
V=integral0^1 πl(e^xr)^2,dx=πintegral0^1 e^2x,dx

Passo 3

Para calcular a integral, primeiro achamos a primitiva de e^{2x}:
$$\int e{2x},dx=\frac{e{2x}}{2}+C
$$

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva de x=0 até x=1 dentro da nossa expressão para V:
V=π[e^2x2]0^1=π(e^22-e^02)

Resposta

\frac{π}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr)

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